75道经典逻辑思维及完美解答-第5节
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【64】想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？
因为镜子和你平行。 如果镜子与人不平行； 就可以颠倒上下。 实际上镜子并没有颠倒左右，而是颠倒前后。解释2：镜子成象是光的反射原理。对称轴就是人的中轴。因为人左右基本对称的。
【65】一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？
1，若是两个人，设A、B是黑帽子；第二次关灯就会有人打耳光。原因是A看到B第一次没打耳光，就知道B也一定看到了有带黑帽子的人，可A除了知道B带黑帽子外，其他人都是白帽子，就可推出他自己是带黑帽子的人！同理B也是这么想的，这样第二次熄灯会有两个耳光的声音。
2，如果是三个人，A；B；C。 A第一次没打耳光，因为他看到B；C都是带黑帽子的；而且假设自己带的是白帽子，这样只有BC戴的是黑帽子；按照只有两个人带黑帽子的推论，第二次应该有人打耳光；可第二次却没有。。。于是他知道B和C一定看到了除BC之外的其他人带了黑帽子，于是他知道BC看到的那个人一定是他，所以第三次有三个人打了自己一个耳光！
【66】两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周呢？
把大圆剪断拉直。小圆绕大圆圆周一周，就变成从直线的一头滚至另一头。因为直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2倍，所以小圆要滚动2圈。
但是现在小圆不是沿直线而是沿大圆滚动，小圆因此还同时作自转，当小圆沿大圆滚动1周回到原出发点时，小圆同时自转1周。当小圆在大圆内部滚动时自转的方向与滚动的转向相反，所以小圆自身转了1周。当小圆在大圆外部滚动时自转的方向与滚动的转向相同，所以小圆自身转了3周。
这一题非常有迷惑性，小圆在外部时其实是3圈，你可以拿个硬币试试可以把圆看成一根绳子，长绳是短绳的2倍长，假设长绳开始接口在最底下，短绳接口在长绳接口处，然后短绳开始顺时针绕，当短绳接口对着正左时，这时其实才绕了长绳的1/4，转了180 90度，所以绕一圈是270*4=360*3 。同理小圆在内部时是1圈。也可以套用下列公式：两圆圆心距/转动者半径=转动者切另一圆时的自转数！！
【67】 1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？
40瓶，20＋10＋5＋2＋1＋1=39， 而后店主借一个空瓶，换来一瓶汽水喝完后把空瓶还给店主。
【68】有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？
一共3红4黑5白；第十个人不知道的话；可推出前9个人的所有可能情况：
红 黑 白 （3 3 3） （3 2 4） （3 1 5） （2 3 4） （2 2 5） （1 3 5）
如果第九个人不知道的话，可推出前8个人的所有可能情况：
红 黑 白 （1 2 5） （1 3 4） （2 1 5） （2 2 4） （2 3 3） （3 1 4） （3 2 3）
由此类推可知，当推倒第六个人时，会发现他已经肯定知道他自己戴的是什么颜色的帽子了．
“有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？”
答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子。那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子。”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子。
我们把这个问题推广成如下的形式：
“有若干种颜色的帽子，每种若干顶。假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色。现在从最后那个人开始，
问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜色。”
当然要假设一些条件：
1）首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴。
2）“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在这个条件中的“若干”不一定非要具体一一给出数字来。
这个信息具体地可以是象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目“有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人”，也可以是“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”，甚至连具体人数也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后——直到开始问他时发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后。在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了。
3）剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子。
4）所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能分别出来。当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方。他们极其聪明，逻辑推理是极好的。总而言之，只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来。相反地如果他们推不出自己头上帽子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看——不知为不知。
5）后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。
当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜色。另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的。
但是下面这几题是合理的题目：
1）3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人。 2）3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。
3）n顶黑帽子，n…1顶白帽子，n个人（n》0）。
4）1顶颜色1的帽子；2顶颜色2的帽子；……；99顶颜色99的帽子；100顶颜色100的帽子；共5000个人。
5）有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶；但具体不知道哪种颜色是几顶；有6个人。
6）有不知多少人（至少两人）排成一排；有黑白两种帽子；每种帽子的数目都比人数少1。
大家可以先不看我下面的分析；试着做做这几题。
如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做；那么10个人就可以把我们累死；别说5000个人了。但是3）中的n是个抽象的数；考虑一下怎么解决这个问题；对解决一般的问题大有好处。
假设现在n个人都已经戴好了帽子；问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色；什么时候他会回答〃知道〃 很显然；只有在他看见前面n…1个人都戴着白帽时才可能；因为这时所有的n…1顶白帽都已用光；在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子；只要前面有一顶黑帽子；那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能——即使他看见前面所有人都是黑帽；他还是有可能戴着第n顶黑帽。
现在假设最后那个人的回答是〃不知道〃；那么轮到问倒数第二人。根据最后面那位的回答；他能推断出什么呢如果他看见的都是白帽；那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽——要是他也戴着白帽；那么最后那人应该看见一片白帽；问到他时他就该回答〃知道〃了。但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽；他就无法作出判断——他有可能戴着白帽；但他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答〃知道〃；他自然也有可能戴着黑帽。
这样的推理可以继续下去；但是我们已经看出了苗头。最后那个人可以回答〃知道〃当且仅当他看见的全是白帽；所以他回答〃不知道〃当且仅当他至少看见了一顶黑帽。这就是所有帽子颜色问题的关键！
如果最后一个人回答〃不知道〃；那么他至少看见了一顶黑帽；所以如果倒数第二人看见的都是白帽；那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢不会在别处；只能在倒数第二人自己的头上。这样的推理继续下去；对于队列中的每一个人来说就成了：
〃在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽；否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽；所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话；我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽。〃
我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见；就不用说看见黑帽了；所以如果他身后的所有人都回答说〃不知道〃；那么按照上面的推理；他可以确定自己戴的是黑帽；因为他身后的人必定看见了一顶黑帽——只能是第一个人他自己头上的那顶。事实上很明显；第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人；就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人；也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人。
这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道；因为上面那段推理中包含了〃如果别人也使用相同的推理〃这样的意思；在逻辑上这样的自指式命题有点危险。但是其实这里没有循环论证；这是类似数学归纳法的推理；每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上；而对于最后一个人来说；他的身后没有人；所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立；是归纳中的第一个推理。稍微思考一下；我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论：
〃如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中出现；从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断；他戴的是这种颜色的帽子。现在所有我身后的人都回答不知道；所以我身后的人也看见了此种颜色的帽子。如果在我前面我见不到此颜色的帽子；那么一定是我戴着这种颜色的帽子。〃 当然第一个人的初始推理相当简单：〃队列中一定有人戴这种颜色的帽子；现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子；那它只能是戴在我的头上了。〃
对于题1）事情就变得很明显；3顶红帽子；4顶黑帽子；5顶白帽子给10个人戴；队列中每种颜色至少都该有一顶；于是从队尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽子；通过这点我们也可以看到；最多问到从队首数起的第三人时；就应该有人回答〃知道〃了；因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子；所以最多看见两种颜色；如果他后面的人都回答〃不知道〃；那么他前面一定有两种颜色的帽子；
