数学新干线-第8节

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　　　　提示　　　　
　　　　用a、b两个砝码称能有几种测量方法？　　　　
　　　　解题　天平法码　　　　
　　　　由于可以把法码放在天平上，用a、b两个法码（设a　　　　（图略）　　　　
　　　　首先1克的法码是无论如何要用的。　　　　
　　　　把其次需要准备的法码设为x克，就可以称x＋1克和x…1克。　　　　
　　　　由于x…1克是在1克的基础上继续加1克的重量　　　　
　　　　所以　x…1=1＋1　　　　
　　　　即　x=3　　　　
　　　　根据上式可以称出　1、2=3…1、3、4=3＋1克　　　　
　　　　把要准备的第三个法码社为y克，由于第二个法码可以称到4克，所以又可以称　　　　
　　　　y…4、y…3、y…2、y…1、y、y＋1、y＋2、y＋3、y＋4克的重量。　　　　
　　　　由于y…4是在4克的基础上继续加1克的重量　　　　
　　　　所以　y…4=4＋1　　　　
　　　　即　y=9　　　　
　　　　因此可以称出1、2=3…1、3、4=3＋1、5=9…（1＋3）、6=9…3、7=9＋1…3、8=9…1、9、　　　　
　　　　10=1＋9、11=3＋9…1、12=3＋9、13=1＋3＋9　　　　
　　　　再把要准备的第四个法码设为z克，可以称从z…13到z＋13。　　　　
　　　　和前面一样、　　　　
　　　　z…13=13＋1　　　　
　　　　所以　z=27　　　　
　　　　因此可以称出到40克的重量了。　　　　
　　　　也就是说、只要分别准备1、3、9（=3的平方）、27（=3的立方）克4种法码，就可以称出　　　　
　　　　从1克到40克、每一次加1克的重量。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　须要准备1克、3克、9克、27克四种法码。　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　＇天平法码＇的问题是17世纪前半叶法国的数学家巴谢想出来的问题。　　　　
　　　　原来的问题是这样的。　　　　
　　　　＇一个商人有一颗40磅的宝石。有一次不小心掉在地上摔成了4块。摔碎的宝石哪一个都是整磅数，用它代替天平的法码，可以称量从1磅到40磅的重量。那么请问摔碎的宝石每一块是多少磅呢？＇　　　　
　　　　7、福根儿　20分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　　　　　有一副扑克牌。从上面开始依次是黑桃、红桃、梅花、方片，且每副牌都是按A、2、3、4。。。K的顺序排列的。　　　　
　　　　　　　　把最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。然后同样是把成为最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。　　　　
　　　　　　　　就这样一副牌一副牌重复操作下去的话，问最后剩下的一张牌是什么牌？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　扑克牌开始是52张（4x13）。　　　　
　　　　按照上面的做法，最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又　　　　
　　　　重新被放到最下面。　　　　
　　　　比如说，开始的牌有4张。经过4回（牌的张数动的次数）反复操作后，牌变成2张。这时下面的牌是开始时最下面的牌。　　　　
　　　　解题　福根儿　　　　
　　　　最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又重新被放到最下面。　　　　
　　　　　　　　开始时扑克牌的牌数是2、4、8、16。。。。张，到剩最后一张为止扑克牌是按照牌的2等分的张数在进行。所以开始时在最下面的牌就留到最后。　　　　
　　　　也就是说，剩下的扑克牌是最初4张牌的第4张牌、最初8张牌的第8张牌、最初16张牌的第16张牌、最初32张牌的第32张牌。　　　　
　　　　　　　　由于第52张牌不属于2、4、8、16、32。。。。张数列之内，所以，需要下一些工夫。　　　　
　　　　操作52张扑克牌牌剩下32张时，放在最下面的牌是最后剩下的牌。从52张减少到32张是，中间要扔掉20张牌（52…32）。由于第20次扔的牌是奇数牌，所以是最开始从上面数第39张牌。扔掉第39张牌，把下面的第40张牌放在扑克牌的最下面。结果这个第40张牌留到最后。　　　　
　　　　最初从上面数第40张牌是在黑桃13张、红桃13张、梅花13张之后的方片A。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　最后剩下的一张牌是方片A。　　　　
　　　　提高能力　　　　
　　　　汉诺塔与宇宙的寿命　　　　
　　　　　　　　关于汉诺塔的由来在148页已经讲述过了。　　　　
　　　　　　　　那么，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，等到64个圆盘全部重新摞在一起，宇宙被毁灭是什么时候呢？　　　　
　　　　　　　　让我们来考虑一下64个圆盘重新摞好需要移动多少回吧。1个的时候当然是1次。2个的时候是3次。3个的时候像我们已经解过的题那样用了7次。4个的时候。。。。。。这实在是太累了。　　　　
　　　　　　　　因此让我们逻辑性的思考一下吧。　　　　
　　　　4个的时候能够移动最大的4的圆盘时如图所示。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　到此为止用了7次。　　　　
　　　　接下来如下图状态时用1次，在上面再放上3个圆盘时还要用7次（把3个圆盘重新摞在一起需要的次数）。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　因此，4个的时候是＇3个圆盘重新摞在一起的次数＇＋1次＋＇3个圆盘重新摞在一起需要的次数＇　　　　
　　　　=2x　＇3个圆盘重新摞在一起的次数＇＋1次　　　　
　　　　=15次　　　　
　　　　那么，n个的时候是　　　　
　　　　2x＇（n…1）个圆盘重新摞在一起的次数＇＋1　　　　
　　　　由于1个的时候是1次，结果n个的时候为（算式省略）　　　　
　　　　1个圆盘的时候　（算式省略）　　　　
　　　　2个圆盘的时候　（算式省略）　　　　
　　　　3个圆盘的时候　（算式省略）　　　　
　　　　4个圆盘的时候　（算式省略）　　　　
　　　　5个圆盘的时候　（算式省略）　　　　
　　　　。。。。。。　　　　
　　　　n个圆盘的时候　（算式省略）　　　　
　　　　也就是说，n=64的时候是　（算式省略）回。　　　　
　　　　因此，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，　　　　
　　　　宇宙的寿命=（算式省略）　秒　　　　
　　　　用1年=60秒x60分x24小时x365天来换算的话，大约有5800亿年吧。　　　　
　　　　据说现在宇宙的年龄大约是150亿年，还差远着呢。　　　　
　　　　


第三部分第2节　

　　　　10、统计的篇章　　　　
　　　　“统计章节”的功能　　　　
　　　　　　　　国际收支，是把所有国家的收支合计之后应该得到0，可是每年都会　　　　
　　　　出现数百万美元的赤字，这是为什么呢？　　　　
　　　　这是由于各个国家的统计对象、精度、时机偏差、换算方法等不同　　　　
　　　　造成的。所以说统计如果不从基础上做好是不行的。　　　　
　　　　统计的定义是模糊不清的、且范围很广，在这里所涉及的主要是一些概率、排列组合、集合、还有平均的问题。　　　　
　　　　1、全胜冠军只能是梦　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　进行100次相扑比赛能胜99次的相扑运动员15连胜的概率是多少呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　＇100次比赛胜99次＇的相扑运动员，虽然我们认为99连胜也不会感到奇怪。但是，那是不可能的。　　　　
　　　　解题　全胜冠军只能是梦　　　　
　　　　胜率99％的相扑运动员2连胜的概率是　　　　
　　　　0。99x0。99=0。9801约等于98％　　　　
　　　　3连胜的概率是　　　　
　　　　0。99x0。99x0。99=0。9703约等于97％　　　　
　　　　随着连胜次数的增加，概率就下降。　　　　
　　　　15连胜的概率是　　　　
　　　　0。99x0。99x0。99x。。。x0。99=0。8601　　　　
　　　　所以，只有86％的概率。横纲偶尔输一次也没有什么不可思议的。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　15连胜的概率是86％。　　　　
　　　　2、会开车的有3人　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　有8个人去郊外旅行。他们分别乘坐两台车，每台车上4个人。会开车的有3个人。那么有几种方式安排座位呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　让我们试一下8个人能够乘坐的有两个驾驶席的车吧。　　　　
　　　　解题　会开车的有3人　　　　
　　　　我们设驾驶席为A、B，一般的座位是C、D、E、F、G、H。　　　　
　　　　在A、B席上坐的人是会开车的3人当中的2个人。坐在A席的人，因为3人谁都可以，所以有3种方式。坐在B席的人，是除了坐在A席以外的另两个人，所以3…1=2种方式。结果，在A、B席乘坐的方式有3×2=6种。　　　　
　　　　坐在后面座位C的人除了开车的两个人以外，因为8…2=6人当中谁都可以坐，所以有6种方式。　　　　
　　　　坐在后面座位D的人除C座以外的6…1=5人谁都可以坐。所以有5种方式。以下同样坐在E、F、G、H的人各有4种方式、3种方式、2种方式、1种方式。　　　　
　　　　因此，8个人坐的方式是　　　　
　　　　驾驶席坐的人　×　一般座位的人　　　　
　　　　=6×6×5×4×3×2×1　　　　
　　　　=4320种　　　　
　　　　让我们着实是吃了一惊啊。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　有4320种方式。　　　　
　　　　3、80分以上的学生有几人？　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在50个人的班级里，英语和数学考试分数在80分以上的学生分别是35人和30人。那么请算出两科都在80分以上的学生有几人？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请画图想想看。　　　　
　　　　解题　80分以上的学生有几人？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　英语得80分以上的学生有35人，数学得80分以上的学生有30人。合计65人。　　　　
　　　　从65人里减去两科都在80分以上的学生的人数x，就会比班级的总人数50人要少。　　　　
　　　　因此　　　　
　　　　35＋30…x大于等于50　　　　
　　　　所以　x大于等于15　　　　
　　　　也就是说，两科都在80分以上的学生至少有15人。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　15人。　　　　
　　　　4、三科都不擅长的学生有几人？　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在50个人的班级里，语文好的学生有32人，　英语好的学生有24人，数学好的学生有16人。　　　　
　　　　其中，语文和英语好的学生有15人，英语和数学好的学生有6人，语文和数学好的学生有10人。并且，三科都好的学生有2人。　　　　
　　　　那么，请算一下三科都不拿手的学生有几人？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　这个问题也画张图想想看。　　　　
　　　　解题　三科都不拿手的学生有几人？　　　　
　　　　　　　如右图所示（图略）。箱子里画着分别有一部分重合的3个圆。我们把这样的图形冠用发明者的名字叫做＇本之图＇。　　　　
　　　　箱子表示总人数50人、大圆表示语文好的学生32人、中等圆表示英语好的学生24人、　　　　
　　　　小圆表示数学好的学生16人。3个圆重合的部分表示三科都好的学生2人。　　　　
　　　　1。只是语文和英语好的学生=15人（语文和英语好的学生）…2人（3科都好的学生）=13人。　　　　
　　　　同样，只是英语和数学好的学生=6人（英语和数学好的学生）…2人（3科都好的学生）=　4人。　　　　
　　　　只是语文和数学好的学生=10人（语文和数学好的学生）…2人（3科都好的学生）=　8人　　　　
　　　　2。只是语文好的学生=语文好的学生32人…只是语文和英语好的学生13人…语文和数学　　　　
　　　　好的学生8人…3科都好的学生2人=9人。　　　　
　　　　同样，只是英语好的学生=24人…4人…13人…2人=5人。　　　　
　　　　只是数学好的学生=16人…8人…　4人…2人=2人。　　　　
　　　　③因此，语文、英语、数学各科好的学生=　　　　
　　　　13＋4＋8＋2＋9＋5＋2=43人　　　　
　　　　所以，哪个学科都不好的学生=　　　　
　　　　全班学生的人数…各科好的学生的人数=50…43=7人　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　三科都不擅长的学生有7人。　　　　
　　　　5、国际结婚　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　女儿和外国人结婚时举行了盛大的婚礼。　　　　
　　　　来宾共有70人。其中日本人37人、男性39人、小孩16人。并且在日本人当中有成年女性14人、男孩5人，外国人当中成年女性9人、女孩2人。　　　　
　　　　那么请问，外国人当中的成年男性有几人？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　不管是日本人也好外国人也好、男性也好女性也好、大人也好小孩也好，共有三个基　　　　
　　　　准。请注意一下他们各自的两个分类。　　　　
　　　　解题　国际结婚　　　　
　　　　把整个人数用长方形来表示。　　　　
　　　　用第一基准＇日本人还是外国人＇表示长方形的长，用第二基准＇男性还是女性＇表示长　　　　
　　　　方形的宽来区别。第三基准＇大人还是孩子＇是在长方形当中画的一个小长方形，用它的内　　　　
　　　　侧和外侧来区别。　　　　
　　　　（图略）　图中注解…＇子供＇是＇孩子＇的意思。　　　　
　　　　1。全体人数是70人，由于日本人是37人，所以外国人是33人。　　　　
　　　　2。全体人数是70人，由于男性39人，所以女性是31人。　　　　
　　　　3。女性总共是31人，日本人的成年女性14人，外国人的成年女性9人，外国人的女孩2人，日本人的女孩6人。　　　　
　　　　4。小孩总共有16人，日本人的男孩5人，日本人的女孩6人，外国人的女孩2人，外国人的男孩3人。　　　　
　　　　5。外国人总共有33人。外国人的成年女性9人，外国人的