数学新干线-第6节

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　　　　都是相似的。　　　　
　　　　图形P的面积＋图形Q的面积=　图形R的面积的公式是永远成立的。　　　　
　　　　6、希波克拉底的定理　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　希波克拉底（BC450年左右）是希腊的哲学家。　　　　
　　　　＇如图所示，把直角三角形的各边作为直径画圆时，请证明斜线部分面积的和等于直角　　　　
　　　　三角形的面积＇。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　这和三个半圆的定理很相似啊。　　　　
　　　　解题　希波克拉底的定理　　　　
　　　　三个半圆的定理是（P1＋P2）＋（Q1＋Q2）=R　　　　
　　　　R是以c为直径的半圆的面积。　　　　
　　　　就右图（图略）来讲，　　　　
　　　　R=直角三角形的面积＋（P2＋Q2）　　　　
　　　　因此　　　　
　　　　（P1＋P2）＋（Q1＋Q2）　　　　
　　　　=直角三角形的面积＋（P2＋Q2）　　　　
　　　　所以　　　　
　　　　P1＋Q2=直角三角形的面积　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　以直角等腰三角形的直角为中心，以直角边为半径，画四分圆；以三角形斜边为直径画半圆，得到月牙儿状图形。此月牙面积等于三角形的面积。　　　　
　　　　四分圆的面积=（算式省略）　　　　
　　　　半圆的面积=（算式省略）　　　　
　　　　因此　　　　
　　　　四分圆的面积=半圆的面积　　　　
　　　　两边同时减去三角形和斜线部分之间的弓形的面积，那么　　　　
　　　　直角三角形的面积=月牙儿的面积　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提高能力　　　　
　　　　圆　=　三角形？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　请在上面1～5图中选出唯一一个不同的图形。　　　　
　　　　你会说＇这不是全部都不一样吗？＇　本来是这样的。在＇只有同样的图形才相同＇的情况　　　　
　　　　时是这样。　　　　
　　　　＇相似的图形也相同＇这种见解也是成立的。这种时候1和2就成为一样的了。　　　　
　　　　可是不管是哪一种也选不出来只有一个不同的图形啊？为此，要用其他的方法去看图形　　　　
　　　　了。　　　　
　　　　在橡胶薄膜上画出图形，把薄膜抻长或缩短时就会变成三角形、四角形、椭圆形、及　　　　
　　　　圆形等各种形状。　　　　
　　　　对追求图形本质的新科学来说，抻长、缩短、歪斜、重叠等都可以看成是相同的。我们　　　　
　　　　把这个叫做同相。　　　　
　　　　只有5图，无论你怎样抻长、缩短、歪斜，因为无法变成其他的图形，所以⑤和其他图　　　　
　　　　形都不一样。因此，要是选出只有一个不同图形的话，只能是选⑤图了。　　　　
　　　　7、中心点在哪儿呢？　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　有个人想在圆盘的中心点钉上钉子挂在墙上。钉子如果不在中心看起来会不顺眼，所以　　　　
　　　　尽可能的找到准确的中心位置。工具只有一个直角尺。　　　　
　　　　那么怎样做才好呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　直角尺是木匠使用的用金属折成直角形的尺。　　　　
　　　　解题　中心点在哪儿呢？　　　　
　　　　如图所示，把直角尺的直角合在圆周的一个点上，再找到两个直角边和圆的接触点，将　　　　
　　　　两点连线。按照同样的方法再另画出一条线，两条直线的交点就是圆的中心点。这是泰勒斯定理“直径的两端和圆周上的任意一点相连后形成的角是直角”的应用。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　由于三角形的内角和为180度，所以　　　　
　　　　（算式省略）=180度。。。。。。1　　　　
　　　　由于OA、OB、OP是圆的半径，所以三角形OAP和三角形OBP是等边三角形。　　　　
　　　　由于等边三角形的两个底角相等，即　　　　
　　　　（算式省略）。。。。。。。。。。。。2　　　　
　　　　根据1、2，　（算式省略）=180度　　　　
　　　　所以　（算式省略）=90度　　　　
　　　　由上列算式证明，角ABP是直角。　　　　
　　　　


第二部分第6节　

　　　　8、反论（奇谈怪论）的篇章　　　　
　　　　“反论章节”的功能　　　　
　　　　　　　　有两个不同大小的蛋糕，媳妇和婆婆两个人吃。婆婆说“你先请吧。”　　　　
　　　　媳妇先拿大的去吃了。婆婆看到后说“要是让我先吃，我肯定会选那个　　　　
　　　　小的是吧。”　媳妇说“母亲，您有什么不满意的吗？这不是按照您所想的　　　　
　　　　拿了吗？”　　　　
　　　　反论智力题的内容是把反论做为教材的。可以考虑成是理论问题的变形。　　　　
　　　　因此，他们的效果几乎是相同的。只是反着说而已，更能锻炼人们的直觉判断能　　　　
　　　　力。　　　　
　　　　1、　谎言村的诚实者　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　诚实村的村民一定诚实，谎言村的村民肯定说谎。这两个村相邻，村民们常有往来。　　　　
　　　　正好有人来到了这里，可是不知道是哪一个村庄。要想知道是哪一个村庄，怎样问才好　　　　
　　　　呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　由于两村的村民来回走动，即使随便找个人问也不知道是哪个村的。如果所到的村庄是　　　　
　　　　诚实村，你可以考虑一个诚实村和谎言村的人都一样回答的问题。　　　　
　　　　解题　谎言村的诚实者　　　　
　　　　来人问到＇请问你是住在这个村里的吗？＇，回答如下列表格所显示的那样，如果是诚实　　　　
　　　　村的人回答是肯定的，如果是谎言村的人回答也是肯定的。　　　　
　　　　 询问的人　=　诚实 询问的人　=　说谎　　　　
　　　　诚实村 是 是　　　　
　　　　谎言村 不是 不是　　　　
　　　　2、你永远不会秃　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　＇你的头发很多呀，拔掉一根你的头发吧。只是拔掉一根又不会有太大的影响。你不会秃顶的。　　　　
　　　　假设没拔头发时是第n回，拔掉一根头发后是第n＋1回。我们确认了第n回的情况和后来只是拔掉一根头发的第n＋1的情况完全是两种不同的秃顶情况。　　　　
　　　　于是，无论拔掉多少头发都不会变成秃顶的。所以，完全把头发拔光你也不会变秃顶的＇　　　　
　　　　那么，要想避开这个反论应该怎么办才好呢？　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　让我们好好考虑一下秃顶到底是怎么一回事？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　解题　你永远不会秃　　　　
　　　　如果明白秃顶的定义是什么，像这样的反论就不成立了。　　　　
　　　　比如说，我们明确了＇头发在少于3万根以下的时候叫秃顶＇这个定义以后，那么假设第n回的头发是3万根＋1时，拔掉一根的n＋1的情况下就变成了＇秃顶＇。　　　　
　　　　3、三角形的两边之和等于另一边　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　＇设三角形ABC的AB边的中心点为D、AC边的中心点为E、BC边的中心点为F。然后，连接各中心点D、F、E形成平行四边形ADFE。　　　　
　　　　在这个平行四边形里，AD和EF的长度相等，AE和DF的长度相等。因此，AB和AC的长度之和等于连接BD、DF、FE、EC的曲线的长度。　　　　
　　　　下面也同样，曲线BDFE的长度等于曲线BGHIFJKL的长度。　再接下来还是同样。。。。。。，　　　　
　　　　经过无数次重复之后，这个像锯齿似的曲线就会和底边BC重合。所以，三角形的两边之和等于另外一边。＇　　　　
　　　　那么，怎样能回避这个反论呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请用显微镜看。　　　　
　　　　解题　三角形的两边之和等于另一边　　　　
　　　　不管锯齿变得怎样细小，如果用显微镜看还是锯齿。不管怎样折叠弯曲，锯齿的长度还　　　　
　　　　是等于AB＋AC。　　　　
　　　　底边BC是点B和点C之间最短距离是直线，不管锯齿变得怎样细小，即使看起来好像和直线完全重合了一样，也不会变成直线。　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　后来成为文艺春秋出版社社长的菊池　宽最讨厌几何和数学。看到＇证明三角形的两边　　　　
　　　　之和大于另一边＇的考试题出来时，竟然在答案上写到＇这个证明就是，连狗都知道绕开走　　　　
　　　　＇　　　　
　　　　欧几里得（BC330？～　BC275？）利用＇线段的长短随着它所对应的角度而变。角度越大线　　　　
　　　　段的长度就越大＇的定理作出了证明。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　4、所有的圆周都相等　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　＇把盘子立在桌子上在不使其滑倒的情况下旋转一圈。于是，可以看到盘子的同心圆　　　　
　　　　盘子的底部也在一同旋转。如果在不使盘子滑倒的情况下旋转一圈的话，就形成了圆。所以，大的圆也就是盘子的圆周和小的圆也就是盘子的底部的圆周长相同。也就是说，所有圆周的长度都相等。＇　　　　
　　　　那么，怎样解决这个反论呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　画一个图试一试。　　　　
　　　　解题　所有的圆周都相等　　　　
　　　　1在进入正题之前　　　　
　　　　设三角形ABC的两边AB和AC的的中心点分别为M和N。　　　　
　　　　在BC上的任意一点D和A连接，在MN上的交点为P，那么D和P是1比1相对应　　　　
　　　　的。因此，BC上所有的点在MN上都有相对应的点。　　　　
　　　　并且，MN上所有的点在BC上也都有相对应的点。　　　　
　　　　也就是说，BC上的点和MN上的点都是1对1相对应着的。　　　　
　　　　然而，MN的长度是BC的一半。像这样不同的两条线上的点，即使每一个点都是1对1相对应，但是并不能说两条线就相等。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　2圆周长　　　　
　　　　如图所示（图略），AB是大的圆旋转一圈的周长，PQ是同时旋转的小的圆的周长。　　　　
　　　　大圆的圆周上的点和AB线上的点是1对1相对应的。小圆的圆周上的点和PQ线上的点也是1对1相对应的。　　　　
　　　　因此，大圆的圆周上的点和小圆的圆周上的点也是1对1相对应的。　　　　
　　　　到这里和问题当中所说的意思是相同的。　　　　
　　　　如1所述，虽然说是1对1相对应的，并不能说长度就相等。因此，问题中提到的＇所有圆周的长度都相等。＇这一论述是不能成立的。　　　　
　　　　标题图解：能力提高　　　　
　　　　镜子照东西为什么只是左右相反呢？　　　　
　　　　镜子里照出来的影像左右是反过来的。为什么只是左右相反而不是上下倒过来呢？　　　　
　　　　面向镜子靠近看时，镜子里的影像反过来向前靠近。也就是说，镜子的功能是可以　　　　
　　　　改变前后位置的。　　　　
　　　　站在垂直放置的镜子前面，所看到的影像是上（头）在上、下（脚）在下、左在左边、右　　　　
　　　　在右边。然而，虽然面向镜子而立，镜子里的影像却是前后变换面朝向你这边。虽然镜子里的影像是上在上、下在下、左在左边、右在右边，由于前后变换着的影像和你面对面，所以左右是相反的。　　　　
　　　　站在平放在地上的镜子上面，这回你看到的是上（头）下（脚）颠倒的影像。然而，这种情　　　　
　　　　况上面应该是腹部，下面应该是背部。也就是说，上下仍然是不变的。之所以头和脚相反倒立过来，是因为前面所说的前胸和后背变换的原因。因此左右仍然是反过来的。　　　　
　　　　也就是说，只是左右相反的影像是因为镜子的功能是把上在上、下在下、左在左边、　　　　
　　　　右在右边原封不动的照下来，只是前边和后边倒过来而已。　　　　
　　　　有一种使左右不倒过来的方法。把三面镜子成直角放置，站在这种镜子的前面斜着看两　　　　
　　　　边的镜子，镜中的影像是前边和后边没有改变的。因为经过两次反射，左右相反的影像又一次被反射回来，所以看到的影像是左右没有倒过来。　　　　
　　　　5、弘法选笔　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　＇弘法不用挑笔＇。这个命题反过来就是＇不挑笔的人是弘法＇，命题里边的含义并不能说　　　　
　　　　肯定是＇不是弘法的人就挑笔＇。然而，把命题掉过来＇挑笔的人不是弘法＇的说法肯定是真的。上面是逻辑学所讲的东西。然而，＇如果不对他发脾气就不学习＇的命题的对偶是＇如果学习就被发脾气＇，这样的说法怎么也不能成立。因此，命题的对偶肯定是对的这种逻辑学上的理论是正确的吗？　　　　
　　　　弘法不挑笔　　　　　　　　　　　　　　　相反　　　　　　　　　　　　　不挑笔的人是弘法　　　　
　　　　　　　　　　　　对面　　　　　　　　　　　　　对偶　　　　　　　　　　　　　　对面　　　　
　　　　不是弘法的人就挑笔　　　　　　　相反　　　　　　　　　　　　　挑笔的人不是弘法　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　＇说谎！＇就是＇不要说谎啊＇的意思，这是一种常用的表现。＇如果不对他发脾气就不学　　　　
　　　　习＇的真正含意是什么呢？　　　　
　　　　解题　弘法选笔　　　　
　　　　　　　开　展对偶和三段论法等理论，必须是把命题以惯用的手法直接表达出本意来。＇不被～就不＇是一种惯用的手法，他的意思是＇不等到被～就不＇。所以，命题＇如果不对他发脾气就不学习＇的真正含意是＇不等到被发脾气就不学习＇。　　　　
　　　　　　　　把这句话掉过来说