数学新干线-第5节

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　　　　如右图，有三种样式。由于各自有6个，所以　3×6=18　　　　
　　　　2、面积为2的　　　　
　　　　共有六种样式。由于各自有3个，所以　6×3=18　　　　
　　　　3、面积为3的　　　　
　　　　共有六种样式。由于各自有1个，所以　6×1=6　　　　
　　　　4、面积为4的　　　　
　　　　共有三种样式。由于各自有1个，所以　1×3=3　　　　
　　　　以上合计18＋18＋6＋3=45　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　45个平行四边形。　　　　
　　　　2、折过来的角　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　把正三角形的纸如图那样折回来时，角？的度数是多少度？　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　折过来的部分的三角形和折回来部分的三角形是全等的。这是当然的啦。　　　　
　　　　解题　折过来的角　　　　
　　　　三角形GEH、三角形HBF各角的度数如图所示。由于三角形CDF和三角形DEF是全等三角形。所以角DFC的度数是角EFC的一半。因为角EFC等于　180度…28度=152度，所以，角DFC的　　　　
　　　　度数为76度。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　76度。　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　三角形的内角之和是180度。　　　　
　　　　那么我们想想看，普通n角形的内角之和是多少度呢？由于无论是什么样的四边形都可　　　　
　　　　以分成两个三角形。所以，四边形的内角和是　180度×2=360度。五角形可以分3个、六角形　　　　
　　　　分4个三角形。由于普通的n角形可以分成（n…2）个三角形，所以n角形的内角之和等于　　　　
　　　　180度x（n…2）（但是n大于等于3）　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　3、三角关系　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　如图所示，在并排三个正方形内画三个三角形。这时，在角p、角q、角r之间会成为什么　　　　
　　　　样的关系？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　很明显，角r=45度。　　　　
　　　　解题　三角关系　　　　
　　　　如图所示（图略），和EH对称排列三个正方形，画三个三角形。　　　　
　　　　角IBE是直角（90度…角q＋角q），并且IB边和BE边长度相同，所以三角形IBE是等边直角三　　　　
　　　　角形。　　　　
　　　　因此　角p＋角q=45度　　　　
　　　　另外　因为角r=45度　　　　
　　　　所以　角p＋角q=角r　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　角p＋角q=角r　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　阿拉伯的数字家萨必德·伊本·克莱（836～901），由于对毕达哥拉斯的“　勾股定理”只适用于直角三角形有不同见解，　所以，为了所有的三角形都能适用，他尝试着将其一般化。　　　　
　　　　在不是直角三角形的三角形ABC上，从顶点A画线B'和C'至底边BC上，使角AB'B和角AC'C各自等于角BAC。　　　　
　　　　于是　（算式省略）　　　　
　　　　因为　三角形BAC、三角形BB'A、三角形CC'A是相似三角形，所以　　　　
　　　　BC：AC：AB=AC：CC'：AC'　　　　
　　　　=AB：AB'：BB'　　　　
　　　　在这里　（算式省略）　根据　（算式省略）　　　　
　　　　并且　（算式省略）　根据　（算式省略）　　　　
　　　　把两个算式相加足以证明了阿拉伯数字家的论点。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提高能力　　　　
　　　　毕达哥拉斯三角形　　　　
　　　　直角三角形的时候，根据勾股定理，算式1成立。　　　　
　　　　（算式省略）。。。。。。1　　　　
　　　　把像算式（算式省略）这样的三个边长都是整数的直角三角形叫毕达哥拉斯三角形。试着做一　　　　
　　　　做，看看怎样把毕达哥拉斯三角形的三个边（a，b，c）代入公式，求出结果。　　　　
　　　　把1的两个边用b的平方来除的话，算式为　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　因此　（算式省略）　　　　
　　　　在这里设　　＋　　=　　　＋　　=　　　　　
　　　　（相乘时得1。m是大于n的整数）　　　　
　　　　根据（前式）－（后式）得出　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　a是整数时，b=2mn，　所以把毕达哥拉斯三角形的三个边（a，b，c）代入公式（m是大于n的整数），即（算式省略）　　　　
　　　　（例）　　　　
　　　　a 3 5 15 7 21 35 9 45 11 63　　　　
　　　　b 4 12 8 24 20 12 40 28 60 16　　　　
　　　　斜边 5 13 17 25 29 37 41 53 61 65　　　　
　　　　　　　　　
　　　　4、爬在圆筒里的虫子　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在高10cm的圆筒底部有一条小虫，我们假设这条小虫沿着与圆筒表面成30度角的一条直　　　　
　　　　线往上面爬行。　　　　
　　　　请问爬到上面要多少cm？　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　和圆筒的半径没有关系。　　　　
　　　　解题　爬在圆筒里的虫子　　　　
　　　　我们可以考虑成小虫爬在高10cm　、角度为30度的直角三角形的斜边AB上面。　　　　
　　　　AB=10×2=20cm　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　20cm　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　如果不是圆柱、而是＇高10cm的圆锥＇的情形时是怎样的呢？　　　　
　　　　只要是以30度的角度在一条直线上行进，就和圆柱的情况一样。　　　　
　　　　5、封闭四边形　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在平行四边形ABCD外部取任意一点P。三角形ABP和三角形DCP的面积之差是多少平方cm呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请参考平行四边形面积的求法。　　　　
　　　　解题　封闭四边形　　　　
　　　　如下图所示，把三角形ABP的高设为H＋h、三角形DCP的高设为h，那么　　　　
　　　　三角形ABP的面积=底边ABx高（H＋h）除2　　　　
　　　　三角形DCP的面积=底边CDx高h除2　　　　
　　　　=底边ABx高h除2　　　　
　　　　因此，两个三角形的面积之差是　　　　
　　　　三角形ABP的面积…三角形DCP的面积　　　　
　　　　=底边ABx高（H＋h）除2…底边ABx高h除2　　　　
　　　　=底边ABx高H除2　　　　
　　　　由于底边ABx高H等于平行四边形ABCD的面积，所以　　　　
　　　　三角形ABP的面积…三角形DCP的面积　　　　
　　　　=底边ABx高H除2　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　6、星形角之和　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　求星形尖端的角度之和。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请参考三角形的两个内角和等于另一角的外角。（图略）　　　　
　　　　解题　星形角之和　　　　
　　　　如图所示，现在我们把星形尖端角的度数设为角a、角b、角c、角d、角e。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　我们如果注意到三角形BGD的内角角b、角d的另一角的外角的大小等于角a＋角d，并且三角形CEF的内角角c、角e的另一角的外角的大小等于角c＋角e。那么三角形AFG的内角和用下列算式可以表示。　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　180度　　　　
　　　　7、摸壁竞赛　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　从点A出发到X、Y的墙壁上摸一下墙，然后跑回终点B，比赛看谁跑得快。　　　　
　　　　怎样跑最先能到终点呢？而且，最近的距离是多少米？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　可以考虑从终点B往回跑跑看。　　　　
　　　　解题　摸壁竞赛　　　　
　　　　我们可以考虑以Y线为中轴，找出点B的对称点B'、再以X的延长线为中轴找出点B'的对　　　　
　　　　称点B〃。　　　　
　　　　首先，从点A开始跑，到摸着墙壁X时是向B〃的方向跑的，在点P处摸到墙壁X。　　　　
　　　　然后，从点P开始跑，到摸着墙壁Y时是向B'的方向跑的，在点Q处摸到墙壁Y。最后，从点Q朝着终点B跑。　　　　
　　　　结果跑的距离和从点A到点B〃的距离相同。这是最短的距离。这个距离的长度根据三平　　　　
　　　　方定理可以得出是1300米。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　答案　1300米　　　　
　　　　


第二部分第5节　

　　　　7、圆的篇章　　　　
　　　　＇圆的章节＇的功能　　　　
　　　　　　　　为什么鸡蛋的形状接近球形呢？那是因为球形在表面面积相同的情况下，　　　　
　　　　可以有最大的内部面积。同样，圆形在周长相同的情况下，也可以得到最　　　　
　　　　大的内部面积。　　　　
　　　　那么接下来的问题就简单了。　　　　
　　　　国王给三个王子一根1000米长的绳子，让他们各自用绳子圈出自己认为是最大的土地　　　　
　　　　并且以此判断皇位的继承人。　　　　
　　　　首先大儿子圈出一个长400米、宽100米的长方形。　　　　
　　　　看到老大圈出的长方形，二儿子圈出一个边长为250米的正方形。国王看到后夸奖说　　　　
　　　　“和我想的一样”。　　　　
　　　　然而，继承王位的却是最小的儿子。那么小皇子是怎么圈的地呢？　　　　
　　　　圆的问题所达到的效果和三角形问题一样，都是在磨练我们对图形的感觉、直感能力　　　　
　　　　以及想象能力。　　　　
　　　　1、电车的内环线　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　山手线的外环线和内环线铁轨长度之差是多少米呢？我们设环形电车线路的半径是5km，外环线和内环线铁轨的中心线间隔是4m。（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请不要生气地说＇半径是5km吗？真是乱讲＇　　　　
　　　　＇译者注：山手线是日本东京都市区内的环行电车，相当于我们的城铁。南北向长，接近椭圆形＇　　　　
　　　　解题　电车的内环线　　　　
　　　　把内环线的半径解释为5km的话，　　　　
　　　　外环线铁轨的长度　=　（算式省略）　　　　
　　　　内环线铁轨的长度　=　（算式省略）　　　　
　　　　因此　外圈和里圈铁轨长度之差是　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　按照圆周率=3。14　　　　
　　　　≒　25　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　所以　答案是大约25米。随便说的半径计算起来真方便呀。　　　　
　　　　答案　约25米　　　　
　　　　2、求斜线部分的面积　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在半径为6cm的圆内画一个正六角形，请问斜线部分的面积是多少平方cm？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　留意三角形。　　　　
　　　　解题　求斜线部分的面积　　　　
　　　　如图所示（图略），三角形ABC和三角形OBC由于底边和高相等，所以面积相同。因此，斜线　　　　
　　　　部分的面积也就等于扇形OBC的面积。我们把所求的面积设为S，则　　　　
　　　　S=（算式省略）　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　当给我们的不是角度而是＇弧线的长度＇时，试试看求扇形的面积S。　　　　
　　　　弧线的长度　　　　
　　　　S=圆的面积x　（图略）　　　　
　　　　周长　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　这个结果和高是r、底边为a的三角形的面积相同，真是感到不可思议啊。　　　　
　　　　3、银杏树　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　请求出图中4片银杏树叶的面积。设大圆的半径为2cm。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请注意看图中重叠部位的白色部分。　　　　
　　　　解题　银杏树　　　　
　　　　把银杏树叶的顶间部剪下来，补在正中间的白的地方。于是，银杏树叶就成为边长是　　　　
　　　　（算式省略）的正方形。（图略）　　　　
　　　　因此，所求面积为　8平方cm　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　8平方cm　　　　
　　　　4、比直线短　20分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　有一块边长为100米的正三角形土地。　　　　
　　　　为了把土地分成两等份，要在中间砌一道墙，怎样才能使墙的长度最短呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　为什么在圆的章节里出现三角形呢？如果不这样认为的话就已经找到解题方法了。　　　　
　　　　解题　比直线短　　　　
　　　　我们砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　按照下列方法可以求出弧长。　　　　
　　　　设三角形的高为h（m）、根据勾股定理　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　因此，三角形的面积约等于4330（平方米）　　　　
　　　　把这个面积平均分成两份，并且设圆弧的半径是r（m）　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　圆弧长L为　　　　
　　　　L=（算式省略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。　　　　
　　　　5、三个半圆的定理　20分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　把直角三角形的每一边作为直径画三个半圆，请问三个半圆之间的关系？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　这是勾股定理的应用问题。　　　　
　　　　解题　三个半圆的定理　　　　
　　　　半圆P的面积＋半圆Q的面积　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　（根据勾股定理，由于（算式省略），所以　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　=半圆R的面积　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　半圆P的面积＋半圆Q的面积=半圆R的面积　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　即使不是正方形、半圆形，只要是以直角三角形的各边做为图形的一部分的各种图形　　　　
　　　　都是相似的。　　　　
　　　　图形P的面积＋图形Q的面积=　图形R的面积的公式是永远成立的。　　　　
　　　　6、希波克拉底