数学新干线-第3节

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　　　　本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。　　　　
　　　　x2　－13x　＋　36　=　（x－4）（x－9）　=　0　　　　
　　　　2、配错了的浓度是多少？　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　把20％的糖水和30％糖水混在一起，想配成24％的糖水，可是一不小心把比例弄反了。　　　　
　　　　请问配错了的糖水的浓度是多少？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　本来打算配制的比例是多少？　　　　
　　　　解题　配错了的浓度是多少？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　本来打算配制的比例是　　　　
　　　　20％的糖水的量：30％糖水大量　　　　
　　　　=（24…20）：（30…24）　　　　
　　　　=2：3　　　　
　　　　把配错了的糖水设为x％　　　　
　　　　本来应该按2：3配制，结果配制成了3：2。所以　　　　
　　　　（x…20）：（30…x）=3：2　　　　
　　　　因此　x=26　　　　
　　　　答案　26％　　　　
　　　　3、球的大小　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里，装进去一看，像下图那样正好装满。圆柱　　　　
　　　　的底边直径为32cm，高为36cm　　　　
　　　　那么球的半径是多少cm呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。　　　　
　　　　解题　球的大小　　　　
　　　　像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　设球的半径为r（cm）　　　　
　　　　AB=2r　　　　
　　　　AC=36…2r　　　　
　　　　BC=32…2r　　　　
　　　　根据勾股的定理　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　因此　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　整理上式为　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　由于　r小于32（圆柱的底边），所以　　　　
　　　　r=10（cm）　　　　
　　　　答案　球的半径为10cm　　　　
　　　　4、最大的积是多少？　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　组合从0到9的数字，请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　两组数之和为一定时，两组数的差越小，其积也就越大。那么我们设两个组数分别为　　　　
　　　　a＋b、a…b、就会得出　　　　
　　　　（a＋b）（a…b）=a2－b2　　　　
　　　　所以可以得知　b=0时的积最大。　　　　
　　　　解题　最大的积是多少？　　　　
　　　　两组数的第一位数是9和8的情况下，两组数的差最小，积也最大。　　　　
　　　　下一位数是6和7，如果和9和8组合在一起，即　96和87。这两组数的差最小，积也最大。　　　　
　　　　（96…87=9、97…86=11）　　　　
　　　　同样，把接下来的位数4和5像964、875这样组合，两组数的差最小，积也最大。　　　　
　　　　再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合，两组数的差最小，积也最大。　　　　
　　　　把最后的0和1也像96420、87531这样组合，由于两组数的差最小，所以积也就最大。　　　　
　　　　这就是我们想要的答案。　　　　
　　　　答案　96420和87531　　　　
　　　　5、同时打开　20分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头　　　　
　　　　打开30分钟后水槽里的水流完。　　　　
　　　　那么请问，如果把3个水龙头同时打开，经过几分钟水槽会空呢？　　　　
　　　　提示　注意每个龙头1分钟的流量。　　　　
　　　　解题　同时打开　　　　
　　　　设水槽里的水量为V，把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设　　　　
　　　　为V1、V2、V3　于是有：　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　设打开3个龙头后，水槽里的水流完的时间为t　于是　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　答案　5分钟　　　　
　　　　


第二部分第2节　

　　　　6、牧草是边吃边长的　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　这是牛顿（1642～1727）想出来的问题。　　　　
　　　　把9头牛放牧在2英亩的牧场上，16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上，10天把牧草吃光。　　　　
　　　　那么请问，把35头牛放牧在5英亩的牧场上，多少天能把牧草吃光？　　　　
　　　　关于面积单位，我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃　　　　
　　　　的牧草的数量也相同。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　虽然用单纯的比例计算就可以求出结果，但是牧草在被吃掉的同时也是生长的，所以不是那么简单哪。　　　　
　　　　解题　　牧草是边吃边长的　　　　
　　　　设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃　　　　
　　　　的牧草量为w，　那么　　　　
　　　　2u＋16×2v=16×9w　……①　　　　
　　　　3u＋10×3v=10×18w　……②　　　　
　　　　根据①x3…②x2、36v=72w　所以　v=2w　　　　
　　　　代入算式①，　u=40w　　　　
　　　　那么我们把所求的天数设为t　　　　
　　　　5u＋tx5v=tx35w　　　　
　　　　把　v=2w、u=40w　代入算式　　　　
　　　　200w＋10tw=35tw　　　　
　　　　所以　t=8天　　　　
　　　　答案　8天　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿，非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由，牛顿　　　　
　　　　在家里到处开了好多通道口。　　　　
　　　　　　　　猫咪在生小猫的时候，牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男　　　　
　　　　仆不明白为什么开这些小的洞，牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。　　　　
　　　　7、13　＋　23　＋　33　＋　…等于多少？　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　那么，（算式省略）等于多少呢？　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。（例如：3的立方是3个连续奇数7、9、11之　　　　
　　　　和）　　　　
　　　　解题　　13　＋　23　＋　33　＋　…等于多少？　　　　
　　　　n的立方可以用n个连续奇数的和表示，也就是说　算式13　＋　23　＋　33　＋　…＋n3是从1开始的（1＋2＋　　…　＋n）个连续奇数的和。　　　　
　　　　　　　　因此，算式13　＋　23　＋　33　＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103等于（由于1～10的和=55）从1开始的55个连续奇数的和。从1开始到第55个奇数是　　　　
　　　　2n…1=2×55…1　　　　
　　　　从1开始到第n个奇数之和是根据右图等于n的平方。　　　　
　　　　所以　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　答案　3025　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　所以，一般来说（1　＋2　＋　…＋n）2　=13＋23＋　…＋n3　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　4、钟表的篇章　　　　
　　　　“钟表篇”的功能　　　　
　　　　　　　　钟表是智力题的代表道具。　　　　
　　　　　　　　看了雅孝司著的＇令人爱不释手的直觉智力测验＇（中经出版）一书，　　　　
　　　　恐怕计算＇两根表针一天重合几次＇的人们总计也有几亿人吧？　　　　
　　　　如果是那样的话，我们也不能越过不提吧。这真是了不起的老调　　　　
　　　　新唱。　　　　
　　　　利用钟表所出的问题虽然不是很难，但是对刺激数字的感觉、逻辑性的思考能力、灵活　　　　
　　　　的想象力等却是个绝好的问题。　　　　
　　　　1、　所有的表都不准　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在收音机报12点时，我确认了家里的表正确之后就出去散步了。　　　　
　　　　途中看见教会的大钟是12点14分。　　　　
　　　　到了目的地书店，那里的表是12点32分。　　　　
　　　　用8分钟买完东西，回来的路上教会的大钟是1点02分，到家的时候是1点14分。　　　　
　　　　由于来回走的速度都一样，所以，教会的大钟和书店的表好像都不准。　　　　
　　　　那么请问，教会的大钟和书店的表分别差几分钟呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　用往返时间来思考。　　　　
　　　　解题　所有的表都不准　　　　
　　　　从家到教会往返用了26分（14分＋12分）。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各　　　　
　　　　用13分。由于教会的大钟在去时用了14分，所以教会的大钟快1分钟（请确认一下回来时前　　　　
　　　　后是否符合）　　　　
　　　　从教会到书店往返用了40分（18＋22）。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各用　　　　
　　　　20分。由于书店的表在去时用了18分，所以和教会的大钟比书店的表慢了2分。　　　　
　　　　由于教会的大钟快1分钟，所以我们得出书店的表比正确的时间慢1分。　　　　
　　　　请确认一下整个路程的前后是否符合。　　　　
　　　　（14分）　（18分）　　　　
　　　　往　12：00》12：14》12：32　　　　
　　　　家　教会　书店　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　返　13：14　　　　（12分）　（22分）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　教会的大钟：快1分钟　　　　
　　　　书店的表　：慢1分钟　　　　
　　　　2、停止的钟表　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　山上寺院里唯一的一个挂钟停了。　　　　
　　　　和尚到离寺院500多米远的施主家去问时间，回来后调整挂钟的时间几乎和正确的时间　　　　
　　　　相同。　　　　
　　　　那么请问，和尚是怎样来调整挂钟的时间的？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　停止的钟表　　　　
　　　　可不是你认为戴着手表那样天真的问题哟。　　　　
　　　　解题　　停止的钟表　　　　
　　　　出门去邻居家时，给挂钟上满弦使之走动，计算来回路程所用的时间。将其一半的时间加　　　　
　　　　在从施主家里所问的时间上，这样就调整好了寺院里挂钟的时间。　　　　
　　　　当然，要特别注意走路的方法，使往返时所用的时间相同。　　　　
　　　　3、表针在一天里重合几回？　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　钟表的长针和短针在一天的时间里重合几回呢？开始的0点不计算。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　要计算最后的24点。　　　　
　　　　解题　表针在一天里重合几回？　　　　
　　　　长针在1分钟内走6度（360度除以60分）、短针在1分钟内走0。5度（360度除以12小时除　　　　
　　　　以60分）。我们设长针和短针重合一次后到再重合时需要n分，则有下列算式：　　　　
　　　　6n－360　=　0。5n　　　　
　　　　解算式为　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　也就是说长针和短针重合一次后到再重合时的时间为1小时（算式省略）、可是不能说1　　　　
　　　　天24小时长针和短针就重合23次。开始的0点不计算、最后的24点计算。所以22回重合。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　22回　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　这是从室町末期后半到江户末期在民间使用表示时间用的。是报时的钟声次数成了时间　　　　
　　　　的叫法。日出前的微明叫明六、日落后的天快黑时叫暮六、把从明六到暮六白天的时间　　　　
　　　　和从暮六到明六夜晚的时间分别分成六等份、把一天的时间分成12刻。明六的下面　　　　
　　　　是五、四数字越来越小、可是突然又变成了九（正午）、然后又是八、七、暮六、五、四。为　　　　
　　　　什么不用从一到三的数字？真是不可理解的事。　　　　
　　　　4、长针和短针成一直线　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　从3点到4点之间短针和长针相互朝相反的方向走成一条直线时是几点几分？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　用怎样的算式表示短针和长针成一条直线是问题的关键。　　　　
　　　　解　　长针和短针成一直线　　　　
　　　　长针在1分钟内走6度（360度除以60分）、短针在1分钟内走0。5度（360度除以12小时除　　　　
　　　　以60分）。　　　　
　　　　我们设在3点n分的时候短针和长针成一条直线（180度）长针从6n、短针从3点的位置　　　　
　　　　（由于单针在1小时转动30度、所以30度×3）转动0。5n。因此、等式　　　　
　　　　6n…（30×3＋0。5n）=180　　　　成立。　　　　
　　　　所以：（算式省略）　　　　
　　　　也就是3点49分5秒（将11分之1用十进法表示，换算成秒数约为5秒）。　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　3点49分5秒的时候。　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　　　　　日出、日没的时间根据季节的变换而不同。如果把一天的时间分别分成六等份、分成　　　　
　　　　一二时刻的话，白天的一刻夏天长、冬天短（把像这样决定时刻的方法叫做不定时法）。　　　　
　　　　如果签订了夏天和冬天在同一时间内劳动的契约，夏天要比冬天的实际劳动时间多出　　　　
　　　　很多。虽然感到不合理，但是作为江户时期的人来说，夏天更容易耕作，所以好像还是很合　　　　
　　　　理的。　　　　
　　　　5、散步时间　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　12点过后出去散步去了。　　　　
　　　　出发时、回来时都看了时间，短针和长针正好交换了位置。请问，出去散步了几分钟？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　在1小时之间正好有短针和长针交换的时候。短针和长针交换位置，就是说两条针前进　　　　
　　　　的角度之和是360度。　　　　
　　　　解题　散步