数学新干线-第2节
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
“整数之美”的功能
整数的问题是所有数学问题的基点，是培养对数字的感观认识
的。解这些题是需要一点点试着看的。在反复推敲的过程中，就会
得到系统性的、效率性的要领。在接受反复失败的同时，也锻炼了
富有逻辑性的思考问题的能力。
高斯曾经说过“整数是数学的女王”。请看下面的例子， 你会感受到他的论点的真实
性。
（算式图省略）
1、 一张变二张、二张变四张 5分
问题
“请看我手里拿着的这把刀，这可不是那种切了头切不了尾，切了前面切不了后面的刀。正如您所看到的这样，刀出鞘时寒光凛凛，咄咄逼人哪。切一张纸给您瞧瞧。看着啊，
一张纸切成两张、两张纸成四张、四张成八张、八张成十六张、十六张成三十二张、六
十四张、一百二十八张。就好像春季三月的落花、奈良晚冬的瑞雪。瞧一瞧、看一看啊
即使是这样快的利刀，在刀刃的两面涂上癞哈蟆油的话看看怎么样啦？一张纸也切不断了。对，您看，就是这样。横着切不断、竖着切也不断、平着切还是切不断。那么把它擦下
去以后会是什么样的结果呢？一寸厚的铁板马上就变成两半儿了。看看，只是用手碰一下，
手就被切成这样了。不过您再看看，像这样的伤口什么都不需要，只要涂上一点点癞哈蟆
油马上就不疼了，血也立刻止住。请瞧一瞧、看一看……”
那么，卖癞哈蟆油的切多少回纸片能超过3万张？
提示
计算的时候超过想象的增长速度会让你大吃一惊的。
解题 一张变二张、二张变四张
第1回 （算式省略）= 2张 第8回 （算式省略）= 256张
第2回 （算式省略）= 4张 第9回 （算式省略）= 512张
第3回 （算式省略）= 8张 第10回 （算式省略）= 1024张
第4回 （算式省略）= 16张 第11回 （算式省略）= 2048张
第5回 （算式省略）= 32张 第12回 （算式省略）= 4096张
第6回 （算式省略）= 64张 第13回 （算式省略）= 8192张
第7回 （算式省略）=128张 第14回 （算式省略）=16384张
第15回 （算式省略）=32768张
答案 15回
小知识
把这种成倍增长的计算方法叫“积算”。其典型的例子是“老鼠计算法”。
“老鼠计算法”的出处来自于：“在一月份的一对（雌雄2只）老鼠，每个月生六对（雌雄12只）小老鼠，假设小老鼠长一个月后也是每个月生六对（雌雄12只）小老鼠，到年末总共有多少只老鼠？”
这是多么宏大的数字啊。
712×2=27682574402只
也就是说一共有（276亿8257万4402只）
1月末 （1＋1×6）对×2只=71×2只
2月末 （7＋7×6）对×2只 = 7×（1＋6）×2=72×2只
12月末 712×2只
2、1＋2＝3、 4＋5＋6＝7＋8 5分
问题
1＋2＝3
4＋5＋6＝7＋8
9＋10＋11＋12=13＋14＋15
上面的算式还真的很有意思啊。那么让我们想想后面的算式如何排列呢？
提示
注意左边最初的同类项及左、右两边同类项的数值。
解题 1＋2＝3、 4＋5＋6＝7＋8
注意到左边最初的同类项是n2这一点很重要。由于左边的同类项数是n＋1、
右边的同类项数是n，所以
n2 ＋ （n2＋1） ＋ … ＋（n2＋n）
=（n2＋n＋1） = （n2＋n＋2）＋ … ＋（n2＋n＋n）
接下来的算式是n=4和5时
16＋17＋18＋19＋20=21＋22＋23＋24
25＋26＋27＋28＋29＋30=31＋32＋33＋34＋35
答案
16＋17＋18＋19＋20=21＋22＋23＋24
25＋26＋27＋28＋29＋30=31＋32＋33＋34＋35
3、 32 ＋ 42 = 52 15分
问题
102 ＋ 112 ＋ 122是两个相连的整数平方的和，请求出其整数。
102 ＋ 112 ＋ 122 = □2 ＋ ○2
提示
把连着的整数设为未知数，关键是怎样设置。
解 32 ＋ 42 = 52
把相连的小的整数设为11＋n（但是n≥1）。
根据题意
（算式省略）
把上列算式整理为
（算式省略）
所以（算式省略）
解上列算式为
（n…2）（n＋25）=0
由于（算式省略）、所以 n=2
因此，所求的整数是 11＋n=13和11＋n＋1=14
所以 （算式省略）
答案
（算式省略）
小知识
有趣的数字
（算式省略）
4、十字之和 30分
问题
请把从1到9的数字填写到下图的十字架中，使横、竖的数字之和相同。每个数字只能用
一次。
（图略）
提示
横、竖的数字之和是多少，十字架中间的数字最关键。
接下来需要反复把数字填进去试，找到整数的对称性就简单了。
答案不只1个。
解题 十字之和
我们设横、竖的数字之和为S，十字架中间的数字为X（横、竖计算时都加算X）
（算式省略）
由于S是整数，所以45＋X需要用2去除。也就是说X是奇数。（45＋奇数=偶数）。
X=1时S=23、X=3时S=24、X=5时S=25、X=7时S=26、X=9时S=27。余下的数字自己试着填上就可以了。
答案
（图略）
第二部分第1节
5、三角形各边之和 30分
问题
请把从1到9的数字填进下图的三角形里，使每边数字的和都等于23。但是每个数字只能
使用一次。
提示
和前一道题的十字架中间的数字被重复计算一样，这道题是三角形顶角的数字被重复
计算，
答案不只1个。
解 三角形各边之和
我们设三角形各边数字之和为S，各顶角的数字依次为X，Y，Z（顶角的数字X，Y，Z被两个边重复使用。）
（算式省略）
因为 S=23，那么根据上列算式得出 X＋Y＋Z=24。所以可以确定 X=7、Y=8、Z=9。
8和9之间的另外两个数字的和应该是6，得6的数字是4和2、5和1这两种组合。
答案
（图略）
6、巧填奇数 20分
问题
把从1到9的数字（每个数字只能使用一次）填进3×3的方形矩阵内，使横、竖、斜线数字
之和都相等，这是很普通的矩阵数字游戏。那么，请把从1到17的奇数（每个数字只能使用一次）填进下图的3×3方形矩阵内。
提示
填在中间的格子里的数字是关键
解题 巧填奇数
把横、竖、斜线数字之和设为S，每个格子里的数字如图所示
A B C
D E F
G H I
3S=（A＋B＋C）＋（D＋E＋F）＋（G＋H＋I）=81
所以 S=27
把中间的格子里的E算在内，其和为
A＋E＋I=27 B＋E＋H=27 C＋E＋H=27 D＋E＋F=27
因此 A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＋3E=27x4
81＋3E=108
所以 E=9
然后再按照（算式省略）算式把数字试着填进格子里，定下来17、15、13的位置。
答案
15 5 7
1 9 17
11 13 3
如右图（图略），偶数的方形矩阵也很简单。此例题例举了0到16的偶数（0也是偶数）
14 0 10
4 8 12
6 16 2
7、难画也要画 15分
问题
请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。
（图略）
提示
留意正方形的对角线。
解题 难画也要画
边长为1的正方形的对角线长度，根据勾股定理，应该等于√2。
即算式为 （12 ＋ 12 = √22）
那么，长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为
（算式省略）
那么，√5的长度也可以用同样的方法算出来。
答：
（图略）
小知识
如果不是在一条直线上，像下图那样用格尺也可以做成无理数。
（图略）
3、方程式的篇章
“方程式”的功能
在希腊的几何学中心，第欧范德斯）（246？330？）在研究方程式
上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩，在他的
墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。
第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分
之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子，但是这个孩子在父亲去世的
4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。
设第欧范德斯在X岁时去世
算式为： （算式省略）
X=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。
在本章里所列出的方程式和这个问题同样，都是中学1、2年级的水平，决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。
然而，掌握思考的能力是非常有用的，逻辑性的思考是方程式的生命。
1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只？ 15分
问题
有墨斗鱼、章鱼和海星共12只，总共有87只脚。
那么请问， 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢？
提示
墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。
解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只？
把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为X只、Y只、Z只。
头 数： X＋Y＋Z=12。。。。。。①
脚合计： 10X＋8Y＋5Z=87。。。。。。②
所以： y = （27…5x）/3
由于Y是整数。所以必须用3除去 27…5x。因此，x=3
所以 Y=4、Z=5
答案
墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。
小知识角
刚才我们计算过的＇计算墨斗鱼、章鱼和海星＇，是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书＇孙子算经＇里面的。那时并不是鹤和龟，而是野鸡和兔子。
日本初次提到这类问题是在17世纪的＇因归算歌＇里，仍然是野鸡和兔子。
内容是＇野鸡和兔子共有32只，数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只？＇
虽然用方程式很简单就能解题，但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。
假设全部是野鸡的话，应该有64（32×2）只脚。由于实际有94只脚，比64只多出30只脚。
如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚，那么兔子就有15（30÷2）只。
所以剩下的17只是野鸡。
从此以后，在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场，最后好像一直到19世纪
前期（江户末期）定为鹤和龟了。
（图略）
（提高能力）
2次方程式的题解和公式
相加是13、相乘是36的两个数字是什么数？咋一看好像很难似的，其实很简单。用＇急转弯＇，首先我们考虑一下2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c（a≠0）的解的公式。
把C移到右边、再用a除以两边。
（算式省略）
由于想做成平方的形式，要在两边加上（算式省略）。
（算式省略）
把左边变为平方的形式、就是
（算式省略）
根据这个算式，2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c的2个解是、相加是（算式省略）、相乘是（算式省
略）。
也就是说开头的问题，相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c解
开就行。从上列公式我们算出
X=4、9
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 －13x ＋ 36 = （x－4）（x－9） = 0
2、�
