投资学(第4版)-第89节
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半年为一期），每次应付利息＝4 5美元（每期），期末价值＝1 000美元，利率＝4％（每半
年期）。计算现值为1 098。96美元。现在我们计算赎回收益率。赎回的时间是5年，或
者说是1 0个半年期。即期价格为1 050美元。为了算出赎回时的收益率，我们设定：n
＝1 0 （每半年为一期），每次应付利息＝4 5美元（每期），期末价值＝1 050 美元，现值＝
1 098。96美元。则得出赎回时收益率为3 。 7 2％。
7。 每次息票支付为4 5美元，有2 0个半年期。假定最后一笔偿付款为6 0 0美元。预
计现金流的现值为7 5 0美元，到期收益率为5 。 4 2％（每半年），或者说是1 0 。 8％。
8。 价格＝7 0美元×年金系数（ 8％，1）＋1 000美元×现值系数（ 8％，1 ）＝9 9 0 。 7 4美元
投资者的收益率＝＇ 7 0＋（ 9 9 0 。 7 4美元－9 8 2 。 1 7美元）＇/ 982。17美元＝0 。 0 8 0＝8％
9。 在较低的收益下，债券价格为6 3 1 。 6 7美元（n＝2 9，i＝7％，F V＝1 000 美元，
P M T＝4 0美元），因此，税后总收入为：
收益4 0美元×（ 1…0 。 3 6 ）＝2 5 。 6 0美元
累积利息（ 5 5 3 。 6 6美元…5 4 9 。 6 9美元）×（ 1…0 。 3 6 ）＝2 。 5 4美元
资本利得（ 6 3 1 。 6 7美元…5 5 3 。 6 6美元）×（ 1…0 。 2 0 ）＝6 2 。 4 1美元
税后总收入9 0 。 5 5美元
收益率＝9 0 。 5 5 / 5 4 9 。 6 9＝0 。 1 6 5＝1 6 。 5％
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第1 5 章
利率的期限结构
在第1 4章中，为简便起见，我们假定贴现率是固定的。
但在现实世界中，这种情况极少发生。譬如我们都知道的
1 9 9 4年末，短期债券与票据的收益率仅略高于5 ％，而此
时长期债券的收益率则高达8 ％以上。当这些证券在市场上
开价时，长期证券总能获取较高的收益率，这实际上是一
种常见的经验模式。本章探讨不同期限资产的利率模型，
我们力图找出影响模型的各种因素，并从所谓的利率期限
结构（term structure of interest rates），即不同到期日贴现
现金流的利率结构的分析中挖掘出起关键性作用的因素。
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第15章利率的期限结构
369
15。1 确定的期限结构
长期债券收益率较高的原因有二：一是长期债券风险较大，需要较高的收益率来
补偿利率风险；二是投资者预期利率会上升，因此较高的平均收益率反应了对债券后
续寿命期的高利率预期。我们从一最简单的例子入手来分析这两种可能性，即我们先
假定未来利率的变化是确定的，投资者已知将要发生的利率变化情况。
15。1。1 债券定价
给定期限的利率称为短期利率（short interest rate），我们假定债券市场上的所有
参与者都相信未来四年的短期利率变动如表1 5 … 1所示：
表15…1 一年期债券利率
年利率（％） 年利率（％）
0（当日）8 2 11
1 1 0 3 11
当然，客户在《华尔街日报》上是看不到这种图表的，他们所见的只有不同期限
的债券价格与收益。但是，我们认为投资者可以根据债券价格的判断与分析，经心算
后得出上表中的结果。如果给定这一利率模型，不同期限债券的价格将呈何种情形？
为简单起见，我们只考虑零息票债券的情况。
一张一年后付本息1 000美元的债券今天只能卖1 000美元/ 1 。 0 8＝9 2 5 。 9 3美元；同
理，两年期债券今天的价格由下式得出：
P＝1 000美元/ （ 1 。 0 8×1 。 1 0 ）＝8 4 1 。 7 5美元（ 1 5 … 1 ）
这8 4 1 。 7 5美元也即两年后的1 000 美元在今天的现值。一年后它的价值将增加
到8 4 1 。 7 5美元×1 。 0 8＝9 0 9 。 0 9美元，两年后它的价值就是9 0 9 。 0 9美元×1 。 1 0＝1 000
美元。
一般情况下，1美元n期后的现值可记为：
1美元n期后的现值P V＝1 / ＇ （ 1＋r1） （ 1＋r2）。（ 1＋rn） ＇
这里ri是第i年的一年期利率，以此类推，三年或四年的债券价值如表1 5 … 2中间行
所示：
表15…2 零息票债券的价格与收益
到期时间价格/美元到期收益率（％）
1 9 2 5 。 9 3 8 。 0 0 0
2 8 4 1 。 7 5 8 。 9 9 5
3 7 5 8 。 3 3 9 。 6 6 0
4 6 8 3 。 1 8 9 。 9 9 3
有了债券价格，就可计算出每种债券的各期收益率。收益率就是与债券支付价格
相等的单利。虽然利率可随时间变化，但各期的折现收益率均以“平均”利率计算。
例如，一个两年期的零息票债券的收益率，即y2，可由下式得出：
8 4 1 。 7 5＝1 000/（1＋y2）2 （ 1 5 … 2 ）
解上式，有y2 ＝0。089 95。重复上述过程计算可得上表，例如，我们可从下式解出y3
7 5 8 。 3 3＝1 000/（1＋y3）3
现在我们把各期收益率相连可得一条曲线，这条曲线我们称为收益率曲线（y i e l d
c u r v e），见图1 5 … 1。
370 第四部分固定收益证券
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到期期限年
图15…1 收益率曲线
图1 5 … 1中的曲线缓缓上升。更为细致的观察可见图1 5 … 2，其中a ）图中那条上升的
曲线是自1 9 9 7年11月以来的收益率，b ）图中是先升后降的弓字型曲线，c ）图的曲线形
状基本上是平缓的。
国债收益曲线
东部时间下午4∶30收益率
国债收益曲线
东部时间下午4∶30收益率
国债收益曲线
东部时间下午4∶30收益率
百分比百分比百分比
昨天
1周前
4周前
昨天
1周前
4周前
月年到期
a） （1997年11月18日）
月年到期
b） （1989年10月4日）
月年到期
c） （1989年10月17日
图15…2 国债收益率曲线
a） 上升收益曲线b） 峰形收益曲线c） ）平坦收益曲线
资料来源：Various editions of The Wall Street Journal。
零息票债券的到期收益率有时也称作点利率（spot rate），即今日对应于零期时的
利率。它的收益率曲线就是表1 5 … 2中的最后一栏，此栏中有四个不同时期的点利率。
应注意的是每期的点利率或收益率与各年中的一年期利率不一样。
未来各年中的短期利率与不同到期日的点利率的这种差别请见图1 5 … 3。图中的第
一条线代表每一年度的短期利率，以下各条线是各期的点利率，或说是从现在起到各
不同相关时期的到期收益率。
两年期债券的收益率很接近于一年期与两年期短期债券利率的平均值。这是有道
理的，因为如果明年、后年的利率分别为8％和1 0％，则（不计复利情况下）连续两年
的投资可带来1 8％的累加收入回报率，每年平均为9％。这与表1 5 … 2中的8 。 9 9 5％非常接
近。由于收益率测度的是债券生命期的平均回报率，所以，它本应由债券第一年与第
二年两年的市场利率共同决定。
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第15章利率的期限结构
371
年
每年短期利率
当前点利率
（到期收益率）
对于不同到期日
1年投资
2年投资
3年投资
4年投资
图15…3 短期利率与点利率
实际上，我们可以解释得更细致些，将1 5 … 1式与1 5 … 2式合并，我们有
8 4 1 。 7 5＝1 000/（1。08×1 。 1 0 ）＝1 000/（1＋y2）2
所以
（ 1＋y2）2＝1 。 0 8×1 。 1 0
1＋y2 ＝（ 1 。 0 8×1 。 1 0 ）1 / 2＝1 。 0 8 9 9 5
同理有，
1＋y3 ＝＇ （ 1＋r1） （ 1＋r2） （ 1＋r3） ＇1 / 3
和
1＋y4 ＝＇ （ 1＋r1） （ 1＋r2） （ 1＋r3） （ 1＋r4） ＇1 / 4 （ 1 5 … 3 ）
余此类推，可见到期收益率实际上是每一时期利率的平均值。但由于复利的因素，
使得这种关系不是算术平均值，而是几何平均值。
15。1。2 持有期回报
表1 5 … 2中的四种债券一年持有期的回报各为多少？也许你会以为较高收益率的债
券提供的一年回报率也较高，但情况并不是这样。在一个简单的没有不确定性因素的
世界中，任何期限的债券一定会提供同一的回报率。否则的话，提供较低回报率的债
券将不再有投资者，它的价格将下降。实际上，尽管它们有不同的到期收益率，每一
种债券提供的未来一年的回报率将等于这一年的短期利率。
为证明这点，我们做个各债券到期利率的计算。一年期债券今天的价格为9 2 5 。 9 3
美元，一年后的本息为1 000美元。由于这是零息票债券，所以总收入只有1 000美元
9 2 5 。 9 3美元＝7 4 。 0 7美元。回报率为7 4 。 0 7美元/ 9 2 5 。 9 3美元＝8％。二年期债券今天的价
格为8 4 1 。 7 5美元，明年的利率上升为1 0％，债券还只剩一年就到期，一年后它的卖价
应为1 000 美元/ 1 。 1 0＝9 0 9 。 0 9美元。因此，持有期的回报率为（ 9 0 9 。 0 9美元…8 4 1 。 7 5美
元） / 8 4 1 。 7 5美元＝8％，你看，还是8％的回报率。同样的，三年期债券今日购买价为
7 5 8 。 3 3美元，一年后售出价为1 000 美元/ （ 1 。 1 0×1 。 11 ）＝8 1 9 。 0 0美元，其回报率为
（8 1 9 。 0 0美元…7 5 8 。 3 3美元）/ 7 5 8 。 3 3美元＝0 。 0 8，仍是8％的回报率。
概念检验
问题1：证明四年期债券回报率仍为8％。
372 第四部分固定收益证券
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我们由此可知，如利率期限确定，且所有债券按公平价格销售，则所有债券的一
年期回报率相等。较长期债券的较高收益率仅仅反映了这样一个事实，即未来利率高
于当前利率及较长时期的债券在较高利率时期仍在继续生利。短期债券持有者只得到
较少的到期收益率，但他们可将其所得做再投资，或待今后利率上升时将其以前所得
“再投入”，以获得更高收益。最终，长期债券与短期但再投资两种策略的回报率在整
个持有期相等，至少在利率确定情况下是这样的。
15。1。3 远期利率
不幸的是，投资者不知未来年份的短期利率的变化情况，他们真正能够知道的是
报纸上列出的债券价格与到期收益率。他们能够从现有数据中推断出未来的短期利率
吗？
假设我们对未来三年的利率感兴趣，而掌握的资料仅限于表1 5 … 2的数据。我们来
比较两个投资方案的选择，见图1 5 … 4：
1） 投资于三年期零息票债券。
2） 投资于两年期零息票债券，两年后再将收入所得投资于一年期的债券。
3年投资
时间线
选择1：购买并持有3年
零息证券
选择2：购买2年零息证
2年投资1年投资
券再投资1年零息证券
图15…4 两个三年的投资方案
假定投资1 0 0美元，在方案1下，三年期零息票债券有一个9 。 6 6 0％的到期收益率，
我们的投资最后得到的本息为100（1。096 6）3＝1 3 1 。 8 7美元；在方案2的情况下，1 0 0美
元投资于两年期的债券，两年后得到本息为100（1。089 95）2＝11 8 。 8 0 美元，然后在第三
年再投资一年，其资金会再增长1＋r3。
在一个确定的世界中，这两种方案的最终结果是完全一样的。如果方案1优于方
案2，则没有一个人愿意持有两年期债券，则这种债券的价格将下降，它们的收益率
将上升。反之，如果方案2优于方案1，则无人愿意持有三年期债券。所以，我们可得
出结论：1 3 1 。 8 7美元＝11 8 。 8 0 美元（ 1＋r3），这即意味着（ 1＋r3）＝1 。 11 ，或r3 ＝11％，这
就是三年期的利率，如表1 5 … 1所示。这样，我们获得三年期利率的方法就有效地解决
了确定条件下的方案比较问题。
更一般地说，以上的比较提供了一个三年期债券回报率与两年期债券的回报再投
资，其各自的总收益相等的策略：
1 0 0 （ 1＋y3）3＝1 0 0 （ 1＋y2）2（ 1＋r3）
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第15章利率的期限结构
373
所以有1＋r3 ＝（ 1＋y3）3/ （ 1＋y2）2。一般来说，在利率变化确定的情况下，可从零息
票债券的收益率曲线中推出未来短期利率的简便算法，其计算公式如下：
1＋rn ＝（ 1＋yn）n/ （ 1＋yn－1）n－1 （ 1 5 … 4 ）
式中n为期数，yn为n期零息票债券在第n期的到期收益率。
此式有一简单解释。等式右边分子的含义是n期零息票债券到期的总增长因素，
同理，分母的含义是n…1期投资的总增长因素。由于前者比后者的投资期限多一年，
其增长量的差别一定是将n…1年的回报再投资一年。
当然，当未来利率不确定时，如现实中的那样，无法推断未来“确定”的短期利
率。今天无人得知将来的利率是什么，我们至多能设想它的预期值，并与不确定性相
联系。但人们通常仍旧用1 5 … 4式来了解未来利率�
