投资学(第4版)-第36节
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到第一个正面出现时为止。在此之前，反面出现的次数（用n表示）用来计算参加者
的报酬R美元：
R（n）＝2n
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率（n＝0）是1 / 2，相应的报酬为20＝
1美元。出现一次反面才出现正面的概率（n＝1）是1 / 2×1 / 2，报酬为21＝2美元，出现
两次反面才出现正面的概率（n＝2）是1 / 2×1 / 2×1 / 2，余此类推。
下表列出了各种结果的概率与报酬：
反
0
1
2
3
面概率
1 / 2
1 / 4
1 / 8
1 / 1 6
报酬＝R（n）/美元
1
2
4
8
概率×报酬/美元
1 / 2
1 / 2
1 / 2
1 / 2
。 。 。 。
。 。 。 。
。 n 。 （1/2） n＋ 1
。
2n
。
1 / 2
所以，预期报酬为：
E（R） =。（￥） Pr（n）R（n） =￥
1/ 2 ＋1/2＋×××=
n=0
对该游戏的评价被称为“圣彼得堡悖论”。尽管预期报酬是无限的，但显然参加
者愿意买票玩这个游戏的花费是有限度的，可能非常有限，只是入门费而已。
贝诺里发现投资者赋予所有报酬的每个美元的价值是不同的，并由此解决了悖论
问题。特别地，他们的财富越多，就越不在乎每一个增加的美元。通过给拥有各种财
富水平的投资者一个福利值或效用值，我们能够用数学方法精确地表达这种观点。随
着财富的增多我们的效用函数也应增大，但是财富每增加1个美元所增加的效用的数
量应该逐渐减少＇1＇（现代经济学家会说投资者每增加一美元的报酬的“边际效用递减”）。
＇1＇ 这种效用类似于在给定风险与收益特性下的资产组合的满意程度。但是，这里的效用函数并不涉及投资者对
可供选择的资产组合选择的满意程度，而仅仅涉及他们从不同财富水平中得到的主观福利程度。
150 第二部分资产组合理论
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一个特殊的函数l o g（R）赋予报酬为R美元的投资者一个主观价值，报酬越多，每个
美元的价值就越小。如果用这个函数测度财富的效用值，该游戏的主观效用值的确是
有限的＇ 1 ＇。获得该效用值所必需的财富为2美元，因为l o g（2）＝0 。 6 9 3。因此，风险报
酬的确定等价物是2美元，是投资者参加游戏付出的最高价钱。
1 9 6 4年，冯·纽曼（Von Neumann）与摩根斯坦（M o rg e n s t e r n）以完全公理的体
系将此方法应用于投资理论，避开不必要的技术细节，我们在此只论及对风险厌恶基
本原理的直感。
设想有一对同卵双胞胎，其中一个比另外一个穷。彼得名下只有1 000美元，而鲍
尔却拥有2 0万美元。他们各自愿意工作多少小时去再挣一美元？似乎彼得（穷兄弟）
比鲍尔更需要这一美元。所以彼得愿意付出更多的时间。也就是说，与鲍尔得到第
200 001美元相比，彼得得到了更多的个人福利或赋予第1 001美元更大的效用值。图
6 B … 1用图形描述了财富与财富效用值的关系，它与边际效用递减的概念是一致的。
每个人的财富边际效用递减率各不相同。每增加一个美元，财富的效用值随之减
少却是一个固定不变的原理。表示随着财产数量的增加每个单位的价值递减的函数称
之为凹函数。中学数学中的对数函数就是一个简单的例子。当然，对数函数并不适于
所有的投资者，但与风险厌恶是一致的，我们假定所有的投资者都是风险厌恶型的。
图6B…1 对数效用函数的财富效用
现在考虑以下的简单情景：
p＝1/2 150 000美元
100 000美元
1…p＝1/2 50 000 美元
这是一个预期利润为零的公平游戏。但是，假定图6 B … 1代表投资者的财富效用值，
且为对数效用函数。图6 B … 2显示了用数值标出的曲线。
图6 B … 2表明因损失5万美元造成的效用减少超过了赢利5万美元形成的效用增加。
先考虑效用增加的情况。概率p＝0 。 5时，财富从1 0万美元增加到1 5万美元。利用对数效
＇1＇ 如果我们用支付的美元R来取代效用值l o g （R），获得游戏的期望效用值（而不是期望美元值），我们可以
有期望效用值的上限V（R），即V （R） =。（￥） Pr（n）log＇ R（ n）＇ =。（￥） （1
2）n＋1 log（2 n ） = 0。693
n =0 n =0
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第6章风险与风险厌恶
151
用函数，效用从l o g（100 000）＝11 。 5 1 增加到l o g（150 000 ）＝11 。 9 2 ，即图上的距离G。
增加的部分G＝11 。 9 2…11 。 5 1＝0 。 4 1。按期望效用计算，增加值pG＝0 。 5×0 。 4 1＝0 。 2 1。
图6B…2 公平游戏与期望效用
现在考虑另一端的情况。在这种情况下，财富从1 0万美元降到5万美元。图中的
距离L是效用的损失，L＝l o g（100 000）…l o g（50 000）＝11 。 5 1…1 0 。 8 2＝0 。 6 9。因而
预期效用的损失为（1…p）L＝0 。 5×0 。 6 9＝0 。 3 5，它大于预期效用的增加。
我们计算风险投资的预期效用：
E＇U（W） ＇＝p U（W1） ＋ （ 1…p）U（W2）＝1/2log（50 000）＋1/2log（150 000）＝11 。 3 7
如果该投资遭到拒绝，1 0万美元的效用值为l o g（100 000）＝11 。 5 1 ，比公平游戏
的11 。 3 7 还大。因此，风险厌恶型投资者将拒绝参加公平游戏。
使用具体的投资者效用函数（如对数效用函数）使我们能够计算特定的投资者玛
丽·史密斯（Mary Smith）风险投资的确定等价值。如果该数值能肯定得到，玛丽会
认为与风险投资有相同的吸引力。
如果对数效用描述了玛丽对财富的偏好，那么图6 B … 2还可以告诉我们：对她来说，
该投资的美元价值是多少。我们要问：“效用值为11 。 3 7 （等于投资的期望效用）时，
确定的财富水平是多少？”由11 。 3 7 画出的水平线与效用曲线在WC E点相交。这意味着：
l o g（WC E）＝11 。 3 7
它表示：
WC E ＝e11 。 3 7＝86 681。87
因此，WC E是投资的确定等价值。图6 B … 2中的距离Y是出于风险对预期利润的妨碍
或下调。
Y＝E（W）…WC E ＝100 000美元…86 681。87美元＝13 318。13美元
史密斯认为稳拿的86 681。87 美元与有风险的100 000美元的效用值相等。因此，
在两者之间，她持无所谓的态度。
概念检验
问题6 B 1：假定效用函数为U（W）＝W1 / 2。
a。 财富为5万美元与1 5万美元时的效用水平各是多少？
b。 如果p＝0 。 5，期望效用是多少？
c。 风险投资的确定等价值是多少？
d。 该效用函数也表示出了风险厌恶吗？
第二部分资产组合理论
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e。 与对数效用函数比较，该效用函数表示出的风险厌恶是多还是少？
投资者的行为表现出了风险厌恶吗？看一看金融市场的价格和以往的收益率，我
们可以掷地有声地回答：“是的”。相当一致的是，有较大风险的债券与较安全的债券
在其他特征相似的情况下，前者的价格比后者要低。有较大风险的股票在长期的平均
收益率要高于低风险的资产，譬如国库券。例如，1 9 2 6年至1 9 9 6年间，标准普尔5 0 0
指数资产组合的平均收益率每年超出国库券收益率8 。 5％。金融数据非常清楚地显示一
般的或有代表性的投资者表现了强烈的风险厌恶。对于承认金融资产的定价是以提供
风险溢价来为风险作补偿并同时有赌博欲望的读者，我们向他们提供一条建设性的建
议：把你的赌博欲望转向金融市场。正如冯·纽曼所说：“股市是对你有利的卡西诺
赌场游戏。”一个冒点儿风险的投资会带给你想要的所有刺激及正的预期收益入帐。
习题：附录6 B
1。 假定投资者的财富为250 000美元。投资者购买了一幢200 000美元的房子并将
余额投资于年利率为6％的无风险资产。投资者的房屋烧毁的可能性为0 。 0 0 1，投资者
对年末财富的效用为对数形式，则投资者在年初愿意支付的保险费为多少（假定，如果
房屋未损毁，它的年末价值仍为200 000美元）？
2。 如果房屋投保费用为每1 000美元保费1美元。则投资者的年末财富的确定等价
值为多少？假定投资者对住宅投保：
a 。价值的1/2 b。全值c 。 1 。 5倍的全值
概念检验问题6 B 1答案
6B1。a。 U （W ） =
W
U（50 000）
= 50 000= 223。61
U（150 000）＝3 8 7 。 3 0
b。 E（U）＝（ 0 。 5×2 2 3 。 6 1 ） ＋ （ 0 。 5×3 8 7 。 3 0 ）＝3 0 5 。 4 5
c。 我们必须找到效用水平为3 0 5 。 4 5的WC E，因此：
WCE = 305。45
WCE = 305。45 2
= 93 301美元
d。 是的。风险投资的确定等价值比预期结果100 000美元要少。
e。 投资者风险投资的确定等价值比教材中投资者认为的对数效用值大。因此，这
一效用公式表明较小的风险厌恶程度。
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第7 章
风险资产与无风险资
产之间的资本配置
资产组合管理者试图找到风险与收益之间的最优的可能替代关系。从头到
尾分析他们的策略，首先是关于资产组合构成的最广泛的选择。例如，资本配
置决策（capital allocation decision）是对整个资产组合中各项资产比例的选择，
放在安全但收益低的货币市场证券的资产比例的选择与放在有风险但收益高的
证券（比如股票）的资产比例的选择。基金在风险投资中分配结构的选择是资
产配置决策（asset allocation decision）的第一部分，它描述了广泛的资产等
级—股票、债券、不动产、海外资产等—风险投资的分布。最后，证券选
择决策（security selection decision）描述了持有每种资产等级中的普通证券
的选择，彻底的资产组合结构分析相当多地提到它。绝大多数机构投资者使用
这一方法。资本配置决策和资产配置决策将在一个更高水平的组织中做出，具
体的资产组合管理者只决定每种资产等级中的特定证券持有的选择。而典型的
个人投资者在货币管理上的结构没有这么复杂，但他们也需要优先考虑含义更
广的配置问题。例如，个人的首要决策通常是考虑应该把多少财富留在安全的
银行或货币市场帐户里。在这一章，要考虑的是资产配置决策中最广泛的部分，
即资产组合中风险资产与无风险资产之间的资本配置。我们讨论被称为风险资
产（risky asset）的有风险资产组合。在第8章中，我们将考察风险资产组合部分
如何被最优地决定。而现在，通过对投资者如何决定投资于风险资产与无风险
资产的数量的探讨，我们开始一次“从头至尾的旅行”。这个资本配置问题可
分两步解决。首先我们确定在选择风险与无风险资产时所碰到的风险收益替代
关系，然后我们将表明风险厌恶如何决定了两种资产的最优组合。这一分析导
致我们去考察所谓的积极投资策略，这要求在（无风险的）货币市场基金与普
通股股票指数基金之间有一资产组合配置。
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第二部分资产组合理论
154
7。1 风险与无风险资产组合的资本配置
历史告诉我们，长期债券投资比短期国库券投资具有更高的风险，而普通股股票
的投资风险更高。另一方面，较高风险的投资有较高的平均收益。当然，投资者不会
对这些投资品种采取要么全部持有要么什么都不要的策略。他们能够并且确实利用所
有资产类型的证券来构造他们的资产组合，其中一些为无风险的短期国库券，一些是
高风险的股票。
控制资产组合风险最直接的方法是：部分资产投资于短期国库券和其他安全
的货币市场证券，部分投资于有风险的资产上。这一资本配置决策是资产配置选
择的一个例子—这种选择面向广泛的投资类型，而不是只在某类资产中选择特
定的证券。绝大多数投资专家认为，资产配置是资产组合构架中最重要的部分。
约翰·博格尔担任前卫投资公司主席时曾说过以下这段话：
最基本的投资决策是你的资产的配置：你应该持有多少股票？你应该持有多少债
券？你应该有多少现金准备？。。这个决策（已经被用来解释）机构管理的养老基金
所取得的9 4％总收益这一惊人的业绩。。没有理由不相信，个体投资者也会获得同样
的这种关系。＇ 1 ＇
因此，通过检验最基本的资产配置选择—资产组合中有多少资产投资于无风险
货币市场证券，多少资产投资于其他风险资产，开始我们关于投资者的风险…收益替代
关系的讨论。
我们记投资�
