投资学(第4版)-第35节

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分布叫做偏度，我们用三阶矩差来计算，有
预期值偏差的三次方保留了它们的标记，使我们能够区分好的与坏的惊奇。因为
偏差越大，其权重越大，使得分布的“长尾巴”控制了对偏度的测度。因此，向右的
偏度分布是正的，例如a，向左的偏度分布是负的，如b。虽然不如标准差重要，这种
不对称也是一种相关的特征。
总之，一阶矩差（预期值）代表回报。二阶矩差表示报酬的不确定性。所有的偶
数矩差（方差，M4等等）表明有极端值的可能。这些矩差的值越大，不确定性越强。
奇数矩差（M3，M5等）代表不对称的测度。正数与正的偏度相关，所以是人们所期望
的。
我们可以根据投资者对各种矩差分布的偏好表来判断每个投资者的风险厌恶特
征，也就是说，我们可以从概率分布中推导出效用值：　
U=E（r）…b0　
2＋b1M3…b2M4＋b3M5…。　
这里，矩差数越大，其重要性越低。注意“好的”矩差数（奇数）是正系数，而
“坏的”矩差数（偶数）系数前的符号是负的。
M3　=　Pr（　s）＇　r（s）　…　E（　r）＇3　
s　=1　
n。　
2　=　Pr（　s）　
s=1　
n。
＇r（　s）　…　E（　r）＇2　
Pr（　s）　
s=1　
n。　
下载第6章风险与风险厌恶厌恶145　
a）　b）

146　第二部分资产组合理论

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需要多少矩差数才足以说明投资者的概率分布呢？萨缪尔森的运用均值、方差与
较高阶矩差分析资产组合的基本近似理论＇1＇　证明在许多重要情况下：

1）　超过方差的所有矩差的重要性远远小于预期值与方差。也就是说，忽略大于方
差的矩差不会影响资产组合的选择。

2）　方差与均值对投资者的福利同等重要。

萨缪尔森的证明是均值…方差分析的主要理论根据。在该证明的条件下，均值与方
差同等重要，而且我们可以忽略所有其他的矩差，并且对我们的分析没有什么影响。

萨缪尔森得出这个结论的主要假设是股票收益分布的“紧凑性”。如果投资者能够控
制风险，资产组合收益率的分布据说就是紧凑的。实际上讲，我们通过提问题来测定收益
分布的紧凑性：如果持有资产组合的时间稍短，我在资产组合中的风险会降低吗？如果只
是瞬间持有该资产组合，风险会接近零吗？如果回答是肯定的，那么分布就是紧凑的。

一般来说，紧凑性与股票价格的持续性是等价的。如果股票价格没有突增，那么，
时期越短，股票收益的不确定性就越低。在这种情况下，能够经常调整资产组合的投资
者将采取行动使股票收益的高阶矩差变得很小以致微不足道。并不是偏度在原则上无关
紧要，而是投资者频繁地更换资产组合的行为把高阶矩差限制在了可以忽略不计的水平。

然而，持续性或紧凑性并不是无关紧要的假设，资产组合的变动产生交易成本，
意味者调整必须受到某种程度的限制，而且不能完全忽视偏度与其他高阶矩差的作用。
紧凑性还排除了以下现象，如有兼并意图时出现的主要股票价格剧增，它同样排除了
戏剧性的事件，诸如1　9　8　7年股市一天暴跌2　5％的情形。除了这些相对特殊的事件，均
值…方差分析是恰当的。在大多数情况下，如果经常地更换资产组合，我们只需关心均
值与方差就够了。

资产组合理论在很大程度上是建立在均值…方差（或均值…标准差）分析的条件得
到满足的假设上的。因此，我们通常忽略了较高阶的矩差。


概念检验

问题6　A　…　1：彩票与保单的同时畅销如何能够证实人们对资产组合收益的正偏度的
喜好胜于对负偏度的喜好？

表6A…1　从纽约证券交易所上市的股票中随机抽取的
资产组合一年期投资收益率的概率分布

N＝1　N＝8　N＝3　2　N＝1　2　8　
统计
观察值正常值观察值正常值观察值正常值观察值正常值
最小值…7　1　。　1　N　A　…1　2　。　4　N　A　6　。　5　N　A　1　6　。　4　N　A　
第5百分位数…1　4　。　4　…3　9　。　2　8　。　1　4　。　6　1　7　。　4　1　6　。　7　2　2　。　7　2　2　。　6　
第2　0百分位数…0　。　5　6　。　3　1　6　。　3　1　6　。　1　2　2　。　2　2　2　。　3　2　5　。　3　2　5　。　3　
第5　0百分位数1　9　。　6　2　8　。　2　2　6　。　4　2　8　。　2　2　7　。　8　2　8　。　2　2　8　。　1　2　8　。　2　
第7　0百分位数3　8　。　7　4　9　。　7　3　3　。　8　3　5　。　7　3　1　。　6　3　2　。　9　3　0　。　0　3　0　。　0　
第9　5百分位数9　6　。　3　9　5　。　6　5　4　。　3　5　1　。　8　4　0　。　9　3　9　。　9　3　4　。　1　3　3　。　8　
最大值4　4　2　。　6　N　A　1　3　6　。　7　N　A　7　3　。　7　N　A　4　3　。　1　N　A　
均值2　8　。　2　2　8　。　2　2　8　。　2　2　8　。　2　2　8　。　2　2　8　。　2　2　8　。　2　2　8　。　2　
标准差4　1　。　0　4　1　。　0　1　4　。　4　1　4　。　4　7　。　1　7　。　1　3　。　4　3　。　4　
偏度（M3）　2　5　5　。　4　0　。　0　8　8　。　7　0　。　0　4　4　。　5　0　。　0　1　7　。　7　0　。　0　
样本规模1　227　—　131　072　—　32　768　—　16　384　—　

资料来源：Lawrence　Fisher　and　James　H。　Lorie；　“　Some　Studies　of　Variability　of　Returns　on　
Investments　in　mon　Stocks；”　Journal　of　Business　43（April　1970）。　

＇1＇　Paul　A。　Samuelson；“The　Fundamental　Approximation　Theorem　of　Portfolio　Analysis　in　Terms　of　Means；　
Variances；　and　Higher　Moments；”Review　of　Economic　Studies　37　（1970）。　

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第6章风险与风险厌恶

147　

6A。2　正态分布与对数正态分布
现代资产组合理论在很大程度上假设资产收益是呈正态分布的。这是一个简便的
假设，因为用均值与方差完全可以描述正态分布，与均值…协方差分析相一致。一个基
本观点是即便单个资产的收益不是完全正态的，一个大型资产组合收益的分布却会与
正态分布非常相似。
数据证实了这种论点。表6　A　…　1显示了从纽约证券交易所上市股票中随机抽查的许
多资产组合的一年期投资结果。资产组合按分散化程度不断增加的顺序列出，即每种
资产组合样本的股票数目是1，8，3　2，1　2　8。每种资产组合收益分布的百分位数与人
们期望的正态分布的资产组合进行了比较，它们的均值与方差是相同的。
首先来看单只股票的资产组合（n＝1），它的收益分布离正常值很远。样本的均
值是2　8　。　2％，标准差为4　1　。　0％。在有相同的均值与标准差的正态分布中，我们预期第5　
百分位数的股票损失3　9　。　2％，但它实际上损失了1　4　。　4％。而且，虽然正态分布的均值与
其中值正好一致，但单只股票实际的样本中值却是1　9　。　6％，大大低于样本均值2　8　。　2％。
相反地，1　2　8只股票资产组合的收益分布与假设的正态分布的资产组合基本上是一样
的。因此，对于十分分散的资产组合而言，正态分布是一个恰如其分的假设。持有多大
的资产组合才能达到这种结果取决于单个股票的收益分布离正常值有多远。从表中显示
的情况看，一个资产组合通常必须包括至少3　2只股票，其一年期收益才能接近正态分布。
单只股票收益正态分布的假设还存在理论上的缺陷。假定股票价格不能是负的，
正态分布就不能真正代表持有期收益率的情况，因为它允许有任何结果，包括全部股
票的价格为负。特别要指出的是，低于…1　0　0％的收益率在理论上是不可能的，因为它
意味着存在负的证券价格的可能性。正态分布不能排除这样的结果应当视为一种缺陷。
另外一个假设是，连续复利年收益率是正态分布的。如果我们把该比率用r表示，
有效年收益率用re表示，那么re　＝er…1，因为er永远不可能是负的，re最小的可能值是…1，　
或…1　0　0％。因此，这种假设巧妙地排除了负价格的可能性，同时还保持了使用正态分布
的好处。在这种假设下，re的分布就将是对数正态分布。图6　A　…　2描述了这种分布。


图6A…2　三种标准差值的对数正态分布

资料来源：J。　Atchison　and　J。　A。　C。　Brown；　The　Lognormal　Distribution（New　York：　Cambridge　
University　Press；　1976）。　


148　第二部分资产组合理论

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re（t）表示投资期限为t的有效收益率。持有期限短，即t很小时，re（t）＝ert…1的近似

值非常精确，并且正态分布非常近似于对数正态分布。由于rt是正态分布的，短期内

的有效年收益可以看成是近似于正态分布的。

因此，短期持有时，有效持有期收益的均值与标准差与年连续复利的股票收益率
的均值与标准差以及时间间隔是成比例的。
所以，如果一只股票的年连续复利收益率的标准差为4　0％（　


＝0　。　4　0，　
2＝0　。　1　6），　
那么，譬如由于特定目的持有期为1个月的收益的方差就是：
2（月）＝　2/　1　2＝0　。　1　6　/　1　2＝0　。　0　1　3　3　
月标准差是（　0　。　0　1　3　3　）1　/　2＝0　。　11　5　5。

为说明这个原理，假定道·琼斯工业平均指数一天上升5　0点，从8　400　点升至8　
4　5　0。这个涨幅“很大”吗？看一看道·琼斯资产组合年连续复利率，我们发现战后
年平均标准差为1　6％。假定道·琼斯资产组合收益是对数正态分布且连续分期之间的
收益负相关，一天期收益分布的标准差（按每年2　5　0个交易日计算）为：


2（日）＝（　
年）　（　1　/　2　5　0　）1　/　2＝0　。　1　6　/　（　2　5　0　）1　/　2＝0　。　1　0　1＝1　。　0　1％（每日）
将此结果应用于道·琼斯交易日开市时的水平8　400　点，我们发现道·琼斯指数的
日标准差为8　400×0　。　1　0　1＝8　4　。　8点。如果道·琼斯资产组合的日收益率是近似于正态
分布的，我们知道三天中有一天道·琼斯指数的变动将会大于1％。因此5　0点的变动就
不值得大惊小怪。


概念检验

问题6　A　…　2：再来看表6　A　…　1。资产组合越分散，其最小收益率就越不可能为负，你
对此会感到奇怪吗？你的解释与样本的最大收益率情况相一致吗？

小结：附录6　A　

1。　收益率的概率分布可以用矩差表示。一阶矩差，即收益分布的均值，可以用来
测度风险的报酬。较高阶矩差是有风险的特征，偶数矩差传达了可能有极端值的信息，
而奇数矩差表示收益分布的不对称。
2。　投资者对各种分布矩差的偏好表明了他们对风险的态度。基本的近似法表明，
频繁更换资产组合时，价格是持续的，理想的资产组合只用均值与方差估算就行了。
3。　持有期不是太长且十分分散的资产组合的收益率近似于正态分布。持有期限短
时（一个月以上），正态分布非常接近于对数正态分布。
习题：附录6　A　…　1　

1。　机智股票投资咨询公司为K　L公司的股价与年终红利作了以下的情景分析，K　L　
公司的股票现在售价为每股1　2美元。
年末
情景概率红利/美元价格/美元

1　0　。　1　0　0　0　
2　0　。　2　0　0　。　2　5　2　。　0　0　
3　0　。　4　0　0　。　4　0　1　4　。　0　0　
4　0　。　2　5　0　。　6　0　2　0　。　0　0　
5　0　。　0　5　0　。　8　5　3　0　。　0　0　
计算每一情景的收益率与：
a。　均值、中值和众值。
b。　标准差和绝对均差。


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第6章风险与风险厌恶

149　

c　。均值的一阶矩差、二阶矩差与三阶矩差，K　L公司股票价格的概率分布是正态的
吗？


概念检验问题6　A　1与6　A　2答案

6A1。　投资者对极端的结果比对一般的结果更敏感，这是方差与更高阶的偶数矩差
所不能解释的。随机的证据表明，投资者迫切地为极端的损失寻求可能的保险，并对
有高度正偏度的概率事件极为乐观。但是，这个假定却很难通过理性控制的实验加以
证明。

6A2。　资产组合越分散化，其标准差就越小，如表6　A　…　1中样本标准差所示。当我
们根据标准差较小的概率分布画图时，极端值的概率下降。因此，随着标准差变小，
预期样本中的最小值与最大值都更接近于均值，这一预期可由表6　A　…　1中的样本的最大
与最小年利率得以证明。

附录6B　风险厌恶与预期效用
投资者厌恶风险是我们讨论的出发点，在此我们将离开前面的主题，考察这一观
点背后的基本原理。认为风险厌恶是投资决策的中心的看法至少可以追溯到1　7　3　8年。
丹尼尔·贝诺里（Daniel　Bernoulli）是出身于瑞士名门的著名数学家，他于1　7　2　5年到
1　7　3　3年在圣彼得堡研究下述的投币游戏。参加这个游戏要先付门票，其后，抛硬币直
到第一个正面出现时为止。在此之前，反面出现的次数（用n表示）用来计算参加者
的报酬R美元：
R（n）＝2n　
在第一个正面出现之前反