投资学(第4版)-第34节

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可以应用于商业方面的好的统计学教材有：

L　e　v　y；　Haim；　and　Moshe　Ben…Horim。　S　t　a　t　i　s　t　i　c　s：　Decisions　and　Applications　in　
Business　and　Economics。　New　York：　Random　House；　1984。　

Wonnacott；　Thomas　H。；　and　Ronald　J。　Wonnacott。　I　n　t　ro　d　u　c　t　o　ry　Statistics　for　
Business　and　Economics。　New　York：　Wi　l　e　y；　1984。　

习题

1。　考虑一风险资产组合，年末来自该资产组合的现金流可能为70　000美元或200　000　
美元，概率相等，均为0　。　5；可供选择的无风险国库券投资年利率为6％。
a　。如果投资者要求8％的风险溢价，则投资者愿意支付多少钱去购买该资产组合？
b　。假定投资者可以购买（　a　）中的资产组合数量，该投资的期望收益率为多少？
c　。假定现在投资者要求1　2％的风险溢价，则投资者愿意支付的价格是多少？
d　。比较（　a　）和（　c　）的答案，关于投资所要求的风险溢价与售价之间的关系，投资者有
什么结论？
2。　考虑一资产组合，其预期收益率为1　2％，标准差为1　8％。国库券的无风险收益率
为7％。要使投资者与国库券相比更偏好风险资产组合，则最大的风险厌恶水平为多少？
3。　在期望收益…标准差图上，画出无差异曲线，相应的效用水平为5％，风险厌恶
系数为3　（提示：选择几个可能的标准差值，从5％至2　5％，找出效用水平为5％的预期收
益率。将得出的预期收益…标准差点连接成线）。
4。　画出无差异曲线，相应的效用水平为4％，风险厌恶系数为A＝4。比较第3题与
第4题的答案，投资者可以得出什么结论？
5。　画出风险中性投资者的无差异曲线，效用水平为5％。
6。　风险厌恶系数A对风险偏好者而言会出现什么情况？画出他的效用水平为5％的
无差异曲线。
根据下列数据回答第7、8、9题。

效用公式数据

投资预期收益E（r）（％）　标准差（％）　
1　1　2　3　0　
2　1　5　5　0　
3　2　1　1　6　
4　2　4　2　1　


142　第二部分资产组合理论

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2

U＝E（r）…0　。　0　0　5A　这里A＝4　

7。　根据上述效用公式，如果投资者的风险厌恶系数A＝4，投资者会选择哪种投资？
a。　1　b。　2　c。　3　d。　4　
8。　根据上述效用公式，如果投资者是风险中性的，会选择那种投资？
a。　1　b。　2　c。　3　d。　4　
9。　在效用公式中变量（　A　）表示：
a。　投资者的收益要求。
b。　投资者对风险的厌恶。
c。　资产组合的确定等价利率。
d。　对每4单位风险有1单位收益的偏好。
历史资料表明标准普尔5　0　0指数资产组合的平均年收益率在过去7　0年中大约比国
库券高8　。　5％，标准普尔5　0　0指数的标准差约为2　0％/年。假定用这些数值表示投资者对
未来业绩的预期，当期国库券利率为5％时，根据这些数据回答第1　0至第1　2题。

10。　计算按下列比重投资于国库券和标准普尔
5　0　0指数的资产组合的要求预期收益与方差。
W国库券W指数
11。　计算第1　0题中每一种资产组合对一个A＝3　0　1　。　0　
的投资者而言的效用水平。投资者可以得出什么
0　。　2　0　。　8　
结论？
0　。　4　0　。　6　
12。　如果A＝5，重新计算第11题，投资者的结
0　。　6　
0　。　8　
0　。　4　
0　。　2　
论是什么？1　。　0　0　

再次考虑教材中贝斯特·凯迪公司股票与糖
凯恩公司股票市场套期保值的例子，但是假定第1　3至第1　5题中糖凯恩公司股票收益率
的概率分布如下所示：

名称股市的牛市股市的熊市糖的生产危机
概率0　。　5　0　。　3　0　。　2　
收益率（％）　1　0　…5　2　0　

13。　如果休曼埃克斯的资产组合一半是贝斯特·凯迪公司股票，另一半是糖凯恩
公司股票。它的期望收益与标准差是多少？计算每种情况下，资产组合收益的标准差。
14。　贝斯特·凯迪公司股票与糖凯恩公司股票的收益之间的协方差是多少？
15。　使用规则5计算资产组合的标准差。证明该结果与第1　3题的答案一致。
概念检验问题答案

1。　风险资产组合的期望收益率为22　000美元/100　000美元＝0　。　2　2或2　2％。国库券利
率为5％，因此风险溢价为2　2％－5％＝1　7％。
2。　投资者因为投资于英镑计价的资产而承担了汇率风险。如果汇率向有利于投资
者的方向变化，投资者将会受益，并从英国国库券中获得比美国国库券更多的收益。
例如，如果美国与英国的利率都为5％，当期汇率为每英镑兑换1　。　5　0美元，则现在1　。　5　0　
美元的投资可以买到1英镑，用来投资于英国国库券。按确定的5％的利率，在年终获
得1　。　0　5英镑。如果年终时汇率为每英镑1　。　6　0美元，则1　。　0　5英镑可兑换成1　。　0　5×1　。　6　0美元
＝1　。　6　8美元。则美元的收益率为1　＋r＝1　。　6　8美元/　1　。　5　0美元＝1　。　1　2或r＝1　2％。比投资于美
国国库券要高。因此，如果投资者预期到有利的汇率变化，英国国库券就是投机性投
资。否则，就只是赌博。
3。　对A＝4的投资者，风险资产组合的效用是
U＝2　0－（　0　。　0　0　5×4×2　02）＝1　2
而国库券的效用为



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第6章风险与风险厌恶

143　

U＝7…（　0　。　0　0　5×4×0　）＝7　
投资者会偏好持有风险资产组合（当然，国库券与这一风险资产组合的重新组合可
能会更好，但这并非此题的选项）。
对A＝8　的投资者而言，风险资

产组合的效用是：
U＝2　0－（　0　。　0　0　5×8×2　02）＝4　
而国库券的效用为7，因此越厌

恶风险的投资者越倾向于持有无风
险资产。

4。　风险厌恶程度低的投资者其
无差异曲线更平缓。风险的上升只
要求较少的收益的增加就能达到原
有的效用水平。
5。　尽管黄金投资独立看来似由
股市控制，黄金仍然可以在一个分散化的资产组合中起重要作用。因为黄金与股市收
益的相关性很小，股票投资者可以通过将其部分资金投资于黄金来分散其资产组合的
风险。
6。　a。根据糖凯恩公司股票收益的既定分布，情境分析如下：
较多的风
险厌恶
较少的风险
厌恶
糖生产的正常年份

异常年份

股市的牛市股市的熊市

糖的生产危机


概率0　。　5　0　。　3　0　。　2　
收益率（％）　
贝斯特·凯迪股票2　5　1　0　…2　5　
糖凯恩股票7　…5　2　0　
国库券5　5　5　

糖凯恩公司股票的预期收益与标准差为：

E（r凯恩）＝（　0　。　5×7　）　＋　0　。　3　（－5　）＋（　0　。　2×2　0　）＝6　


＝＇　0　。　5　（　7－6　）2＋　0　。　3　（－5－6　）2＋0　。　2　（　2　0－6　）2＇1　/　2＝8　。　7　2　
贝斯特·凯迪公司股票与糖凯恩公司股票的收益之间的协方差为：
C　o　v　（糖凯恩，贝斯特·凯迪）＝0　。　5　（　7－6　）　（　2　5－1　0　。　5　）＋0　。　3　（－5－6　）　（　1　0－1　0　。　5　）　
凯恩

＋　0　。　2　（　2　0－6　）　（－2　5－1　0　。　5　）＝－9　0　。　5
相关系数为：
（糖凯恩，贝斯特·凯迪）　＝＇　C　o　v　（糖凯恩，贝斯特·凯迪）　＇　/　
凯恩


贝斯特·凯迪

＝－9　0　。　5　/　（　8　。　7　2×1　8　。　9　0　）＝－0　。　5　5　

相关性是负的，但比以前小（…0　。　5　5而不是…0　。　8　6），因此我们预计糖凯恩公司股
票现在与以前相比套期保值能力下降。5　0％的投资投资于糖凯恩公司股票，5　0％的投
资投资于贝斯特·凯迪公司股票，这样得出的资产组合的概率分布如下：

概率0　。　5　0　。　3　0　。　2　
资产组合收益1　6　2　。　5　…2　。　5　

得出均值与标准差为：

E（r套期保值的资产组合）＝（　0　。　5×1　6　）　＋　（　0　。　3×2　。　5　）　＋　0　。　2　（－2　。　5　）＝8　。　2　5　


＝＇　0　。　5　（　1　6－8　。　2　5　）2＋　0　。　3　（　2　。　5－8　。　2　5　）2＋　0　。　2　（－2　。　5－8　。　2　5　）2＇1　/　2＝7　。　9　4

套期保值的资产组合


144　第二部分资产组合理论

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b。　显而易见，即便在这种情况下，套期保值策略仍然优于使用国库券的降低风险
策略（这一策略的结果为：E（　r）＝7　。　7　5％，　
＝9　。　4　5％）。同时，套期头寸的标准差
（7　。　9　4％）要高于使用最初的数据时的结果。
c　；　d　。使用规则5计算资产组合的方差，有
2＝（　0　。　52×　
2
贝斯特·凯迪）　＋　（　0　。　52×　
2
凯恩）　＋　＇　2×0　。　5×0　。　5×C　o　v　（糖凯恩，贝斯特·凯迪）　＇　
＝（　0　。　52×1　8　。　92）　＋　（　0　。　52×8　。　7　22）　＋　＇　2×0　。　5×0　。　5×（－9　0　。　5　）　＇＝6　3　。　0　6　
这意味着


＝7　。　9　4，正是我们通过情境分析直接得出的结果。
附录6A　均方差分析的辩论
6A。1　概率分布的描述

风险厌恶的公理不辩自明。然而，到目前为止，由于把资产组合的方差（或等价的，标准差）作为评估风险的适当方法，我们对风险的分析是有局限的。在方差不足以测度风险的情况下，这种假设就受到了潜在的限制，下面我们提供一些均方差分析的说明。

如何能最准确地描述资产组合收益率的不确定性是问题的关键。原则上，可以列
出一定时期内资产组合的所有可能的结果，如果每种结果都产生诸如1美元的利润或
收益率，那么这种赢利值就是随机变量。赋予所有可能随机变量的一组概率值就称为
随机变量的概率分布。

在所有可能情形下的预期收益率可以测度持有资产组合的报酬，预期收益率等
于：

E（r）　=。（n）　Pr（s）r（s）　

s=1　

其中s＝1，。　。　。　，n为可能的结果或情形；r（s）是结果为s时的收益率，P　r　（s）是与其

相关的概率。
事实上，预期值或均值并不是概率分布中值的唯一选择，另外还有中值与众数。
中值是指超过半数的结果值并被另一半超过。而预期收益率是结果的权重，中值

基于结果的等级顺序并只考虑结果值的顺序。

在预期值受极端值控制的情况下，中值与均值差距很大。收入（与财富）在人口
中的分布就是一例。少部分家庭占有全部收入（与财富）的相当大的比例，平均收入
被这些极端值“提高了”，它并不具有代表性。由于中值等于超过半数人口的收入水
平（不管超出多少），它不受此影响。

最后，计算中值的第三种选择是众数，它是最大概率时最可能的分布值或结果值。
但是，到目前为止，预期值是最广泛使用的测度中值或一般趋势的方法。

现在我们回到收益的概率分布的性质所含有的风险特性问题上来。一般地说，要
用一个数字来量化风险是不可能的。基本的思路是，为确保准确性，用一组很小的统
计数描述“惊奇”（偏离均值）的可能性和大小，完成这项工作的最简单的方法是按
传达的信息值的顺序回答一组问题，当进一步的问题不会影响我们的风险…收益平衡概
念时终止发问。

第一个问题是：“对预期值的典型的偏离是多少？”正常的回答是：“对预期值的

预期偏离是—。”不幸的是，这种回答对问题没有任何帮助，因为它必然是零：对

均值的正偏离正好被负偏离抵消。

有两种方法来解决这个问题。一是用预期偏差的绝对值，它使所有的偏差变成正

值。这就是所谓的平均绝对偏差（mean　absolute　deviation；　MAD），它由以下公式得

出：


×绝对值＇r（s）…E（r）　＇　
第二种方法是用预期平方差，它也必须是正的，并且只是概率分布的简单方差：　
注意方差的计量单位是“百分比的平方”。回到我们最初的单位，与计算预期值
一样，方差的平方根按百分比计算，我们计算标准方差也是如此。方差还叫做围绕均
值的二阶矩差，预期值本身是一阶矩差。
尽管方差计算的是预期值的平均平方差，它并不能全面描述风险。要知道为什么，　
我们来看图6　A　…　1中一个资产组合收益率的两种概率分布。
图6A…1　资产组合收益率的斜度的概率分布
图6　A　…　1　a与图6　A　…　1　b是两个预期值与方差相同的概率分布图。该图显示的方差相同，　
因为概率分布b是a的镜像。
a与b的主要区别在什么地方？　a的特征是小损失的可能性大，巨额收益的可能性
小。b与此恰恰相反。当我们谈及风险时，我们真正的意思是“坏的惊奇”。这种坏的
惊奇尽管在a中发生的可能性很大，但数量小（且有限）。在b中却很有可能是数额惊
人。风险厌恶型投资者因此偏好a甚于偏好b；因此值得将此特点量化。这种不对称的
分布叫做偏度，我们用三阶矩差来计算，有
预期值偏差的三次方保留了它们的标记，使我们能够区分好的与坏的惊奇。因为
偏差越大，其权重越