投资学(第4版)-第132节
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概念检验
问题3：根据以上讨论，解释为什么看跌…看涨期权平价关系只对不支付红利的股
票的欧式期权成立。如果股票不支付红利，为什么美式期权不满足该平价关系？
21。3 二项式期权定价
21。3。1 两状态期权定价
没有深厚的数学背景，要完全理解通常使用的期权定价公式是很困难的。但是，我
下载
第21章期权定价
553
们仍然可以通过一个简单的特例，来对期权定价进行有价值的考察。假定在期权到期时
股票价格只有两种可能：股票价格或者涨到给定的较高水平，或者降到给定的较低的价
格。虽然这可能看起来是太简单了，但是这可以帮助我们进一步理解更复杂与现实的模
型。而且，我们可以用这种方法来描述股票价格行为的更合理的特性。实际上，几个大
的财务公司已经使用这种简单模型的变型来对期权与具有期权特点的证券进行定价。
假定现在股票价格为1 0 0美元，年底的股票价格可能升至2 0 0美元，或者降至5 0美
元。该股票的看涨期权的执行价格为1 2 5美元，有效期为一年。利率是8％。如果年底
的股票价格下跌了，看涨期权持有者的收益将会是0；如果股票价格涨到了2 0 0美元，
期权持有者将会获得7 5美元的收益。
可用以下的“二叉树”加以说明：
200
75
100
C
50
0
股票价格看涨期权价值
将看涨期权的收益与一个由一股股票与以8％的利率借4 6 。 3 0美元组成的资产组合
的收益进行比较，这一资产组合的收益也取决于年末的股票价格：
（单位：美元）
年末的股票价值5 0美元2 0 0美元
减：贷款的本金与利率…5 0美元…5 0美元
总计0 1 5 0美元
我们知道，建立资产组合的现金支出是5 3 。 7 0美元：股票1 0 0美元，减去4 6 。 3 0美元
的借款。因此，这一组合的价值树为：
150
53。70
0
不管年底股票的价格是何值，这一资产组合的收益都是看涨期权收益的两倍。换句
话说，两份看涨期权正好可以复制出资产组合的收益。因此，两份看涨期权的价值应该
与建立资产组合的成本相同。于是，两份看涨期权应以相同的价格卖出。所以，有
2C= 5 3 。 7 0美元
即每份看涨期权的价格应为C= 2 6 。 8 5美元。因此，给定股票价格、执行价格、利
率与股票价格的波动性（即股票价格上下波动的幅度），我们就能够得出看涨期权的公
平价值。
这种定价方法主要依赖复制的概念，由于股票年底有两种可能的价值，利用杠杆
的股票资产组合的收益复制了两份看涨期权的收益，因此，它们才具有相同的市场价
格。复制概念已成为大部分期权定价公式的后盾。对价格分布更复杂的股票来说，复
制技术相应地也更加复杂，但原理是相同的。
我们也可以从另一个角度来考察复制的作用。仍用前面的例子，我们发现，由一
股股票与出售两份看涨期权构成的资产组合，得到了完全的套期保值，它的年末价值
不受股票价格的影响：
（单位：美元）
股票价值5 0美元2 0 0美元
减：出售两份看涨期权的所得…0 …1 5 0美元
净收益5 0美元5 0美元
554 第六部分期权、期货与其他衍生工具
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投资者构造了一个无风险资产组合，其未来收益为5 0美元。它的价值一定等于5 0
美元的现值，即5 0美元/ 1 。 0 8 = 4 6 。 3 0美元。资产组合的价值等于股票多头1 0 0美元减去2
份出售的看涨期权的价值2C，应该等于4 6 。 3 0美元，因此1 0 0…2C= 4 6 。 3 0美元，C= 2 6 。 8 5
美元。
创造完全套期保值的能力是关键。套期保值锁定了年末的收益，它可用无风险收
益率来折现。用股票的价值来获得期权的价值，不需要知道期权或者股票的贝塔值或
者期望收益率。完全套期保值或者复制，使我们可以用不包含这些信息的股票现价来
表示期权价值。通过套期保值头寸，最终的股票价格就不会影响投资者的收益，所以
股票的风险与收益参数也不会受任何影响。
这个例子中的套期保值率是一股股票对两份看涨期权，或者说是半股股票对一份
看涨期权。对所出售的每份看涨期权来说，资产组合中必须保持半股股票以进行套期
保值。这个比率在这里简单解释如下，它是期权价值范围与股票价值范围的比率。期
权的价值可能为0，也可能为7 5美元，所以变动范围为7 5美元。股票价值可能为5 0美元，
或者2 0 0美元，变动范围为1 5 0美元。这个比率为7 5 / 1 5 0，即1 / 2，这正是套期保值率。
套期保值率等于范围的比率，因为在这个两状态的例子中，期权与股票具有完全
相关性。当期权与股票的收益完全相关时，完全套期保值要求期权与股票的比例仅由
相对波动性来决定。
对其他两状态期权问题，套期保值率的一般公式为：
C＋… C…
H =
S＋… S…
这里，C＋或者C…分别是看涨期权在股票价格上涨与下跌时的价值，而S＋ 与S…分别
是两状态下的股票价格。套期保值率为H，是期权与股票在期末可能的价值变动范围
的比率。如果投资者出售一份期权并且持有H股股票，那么该资产组合的价值将不受
股票价格的影响。在这个例子中，期权定价很容易：仅仅使套期保值资产组合的价值
等于已知收益的现值。
用上面的例子，期权定价技术将包括以下步骤：
1） 给定可能的年末股票价格，S＋= 2 0 0与S…= 5 0，执行价格为1 2 5美元，计算C＋= 7 5
与C…= 0。股票价格的变动范围为1 5 0美元，而期权价格的波动范围是7 5美元。
2） 套期保值率为7 5 / 1 5 0 = 0 。 5。
3） 由0 。 5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为2 5美元。
4） 年利率为8％、2 5美元的现值为2 3 。 1 5美元。
5） 让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值：
0 。 5S0 …C0= 2 3 。 1 5美元
5 0美元…C0= 2 3 。 1 5美元
6） 解出看涨期权的价值，C0= 2 6 。 8 5美元。
如果期权的价值被高估，譬如3 0美元，那么会怎样呢？会获得套利利润。以下是
套利的具体做法：
（单位：美元）
做法
对每个可能的股票价格，一年后的现金流
初始现金流S= 5 0 S= 2 0 0
1。 出售两份期权6 0 0 …1 5 0
2。 购买1股股票…1 0 0 5 0 2 0 0
3。 以年利率8％借入4 0美元4 0 …4 3 。 2 …4 3 。 2
总计0 6 。 8 0 6 。 8 0
虽然净初始投资为零，但一年后的收益是正值，并且是无风险的。如果期权被低
估了，我们只要采取相反的套利策略：购买期权，出售股票，消除价格风险。记住，
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第21章期权定价
555
用这种方法，套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的2倍。利率8％、6 。 8 0美元
的现值是6 。 3 0美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3 。 1 5美元，正
好等于期权价格被高估的数额，即3 0美元减去公平价值2 6 。 8 5美元。
概念检验
问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为2 4美元。阐明用来发现错误定价的套利
策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得3 。 0 8美元的无风险现金流。
21。3。2 两状态方法的推广
虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假
设。首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票
都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长1 0％或者将下降5％，股票的初始价
格为每股1 0 0美元，在一年中价格可能的路径为：
121
110
100
104。50
95
90。25
中间价为1 0 4 。 5 0美元，可通过两条路径获得：先增加1 0％，再降低5％；或者先降
低5％再增加1 0％。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。
C＋＋
C＋
C…＋
C
C
C…
使用类似前面采用的方法，我们可以从C＋ ＋与C＋…得到C＋，然后从C…＋ 与C… …得到C…，。。
最后再从C＋ 与C…得到C。而且我们也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来我
们可以把一年分成四个3个月，或者1 2个1个月，或者3 6 5天，每一个时间段都假定是
一个两状态过程。虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。
当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，
并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票
事件树的分析中看出：
S＋＋＋
s＋＋
S＋＋
S＋
S…＋
S
S＋
S
S…
S
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像S＋ ＋ ＋ 或者S… … …是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像S＋ ＋…能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价S＋ ＋…。
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556 第六部分期权、期货与其他衍生工具
因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial model）。
例如，初始股票价格为1 0 0美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股
票价格可能增加5％而减少3％，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时
期内股票价格的变动有八种组合：＋ ＋ ＋，＋ ＋…，＋…＋，…＋ ＋，＋… …，…＋…，… …＋，… … …。
每个都有1 / 8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：
事件概率 股票价格
3升1 / 8 1 0 0×（ 1 。 0 5 ）3= 11 5 。 7 6
2升1降3 / 8 1 0 0×（ 1 。 0 5 ）2×0 。 9 7 = 1 0 6 。 9 4
1升2降3 / 8 1 0 0×1 。 0 5×（ 0 。 9 7 ）2= 9 8 。 7 9
3降1 / 8 1 0 0×（ 0 。 9 7 ）3= 9 1 。 2 7
中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图2 1 … 5 a ）是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图2 1 … 5 b ）所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布＇ 1 ＇。
假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。
在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
图21…5 概率分布
间隔的风险进行套期保值。接着，
在下一个时间间隔末，在到达下注：a） 三个时期后股票价格可能的结果及其概率。
一个节点上，又可以重新计算套初始股票价格为1 0 0美元，在每个时期，股票价格或上涨
5％，或下跌3％。
期保值率，对资产组合的构成进
b） 每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票
行更新。通过不断改变套期保值
价格或上涨2 。 5％，或下跌1 。 5％。随着期间数的增加，股票
头寸，资产组合可以总保持在风
价格分布接近钟型分布。
险对冲的状态，在每个间隔都获
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。
＇1＇ 实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：John C。 Cox and Stephen A。 Ross； “T h e
Valuation of Options for Alternative stochastic Processes”； Journal of Financial Economics 3 （January…
March 1976）； PP。 1 4 5 … 6 6 ； 或者Robert C。 Merton； “Option Pricing when Underlying stock Returns Are
D i s c o n t i n u o u s ；” Journal of Financial Economics 3（January…March 1976）； PP。 125…44。
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