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第2节

中外科学家发明家丛书:李冶-第2节

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丞。撰注《缉古算术》是王孝通的最大贡献。 

     王孝通的《缉古算术》有4类内容: 

     第1类:即《缉古算术》的第1问,是天文学中的数学计算问题。 

     第2类:即第2—6及第8问,是土木工程中的土方问题。 

     这一类问题,王孝通是根据 《九章算术》第5章《商功》中的立体形求 

体积法,昼思夜想,设计出来的。一方面是根据工根的条件计算其体积及长、 

宽、高,另一方面要从已知的某一部分体积及某些参数计算其长、宽或高。 

其问题之复杂超过以往任何算经,如第3问所筑堤防,由一堑与一羡除(隧 

道)相叠形成,题设达290字。首先要由民工数及每人的工作量计算出堤防 

的体积,进而由此体积及堤防的下底差、小头的上下底差、两头的高差,小 

头的上底与高差及堤防长与小头高差求此堤防的两头高、上、下底及长。最 

后,欲从小头起筑一定土方量的堤防、求此段的长。 

     第3类问题,即第7及第9—14问,是求各种形状的仓房、地窖或其一 

段的高 (深)、广、径问题。 

     第4类问题:即第15—20问,是已知勾、股、弦三事二者之积或差,求 

勾、股、弦问题。 

     这类勾股问题在中国数学史上是首次提出。 

     第2、3、4类问题大都归结为一个开带从立方即形如: 

      3    2 

     x+Ax+ Bx=C( A、 B、C均为正)的三次方程。有的勾股问题要归 

结为形如: 

      4    2 

     x+Bx=C的四次方程,通过两次开平方解决。 

     王孝通虽然已能列出三次方程,但他不懂天元术,完全用几何方法推导 

方程,所以需要高度技巧,不易被一般人掌握。实际上,宋代以前的方程理 

论一直受几何思维束缚,如常数项只能为正,因为常数通常是表示面积、体 

积等几何量的;方程次数不高于三次,因为高于三次的方程就难于找到几何 

解释了。王孝通的四次方程,是通过两次开平方解决的。 

     经过北宋贾宪、刘益等人的工作,求高次方程正根的问题基本解决了。 

     贾宪(公元11世纪上半叶),北宋仁宗时任左班殿直,是三班小使臣, 

属武职。贾宪著书有两种,一为《黄帝九章算经细草》9卷,一为《算法学 


… Page 7…

文古集》6卷。 

     贾宪改进了传统的开方法,创造了开方作法本源和增乘开方法,对中国 

古代数学的算法理论作出了杰出贡献。 

     贾宪的第一个贡献是提出立成释锁法并创造开方作法本源。求二次及其 

以上次数方程的正根,中国古代统称开方术。开方在宋元时又称为释锁。 

     贾宪提出的立成释锁法,如开平方的程序是: 

     作4行布算,依次是商 (根)、实(被开方数或常数项)、方法(一次 

项系数)、下法(二次项系数,此处是1)。将下法自右向左隔一位移1步, 

至实的首位而止;以商的第1位得数乘下法,置于方法,以上商乘方法,减 

实;以2乘方法,退1步为廉,下法退2步,得出减根方程,再如法求第2 

位得数。 

     贾宪的方法与现今方法无异。 

     立成是唐宋时期历算家列的算表。顾名思义,立成释锁法是利用一种算 

表进行开方。这种算表便是开方作法本源,今称贾宪三角。 

     在欧洲,贾宪三角被称为帕斯卡三角,是法国数学家帕斯卡在17世纪初 

创造的,比贾宪晚出600年左右。 


… Page 8…

                             三、 《测圆海镜》 



     贾宪三角是将整次幂二项式系数 



              n 

      (a+b) (n=0, 1, 2,……) 

     自上而下排成一个三角形。 

     贾宪三角下面有五句话,前三句“左袤乃积数,右袤乃隅算,中藏者皆 

廉”说明了它的结构,即积、隅、廉的位置;后二句“以廉乘商方,命实而 

除之”,提示了积、隅、廉在立成释锁法中的应用。 

     显然,利用贾宪三角,当时人们已经把开方术从这之前只能开二次、三 

次方推广到开任意高次方。 

     随着数学问题的日益复杂,迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的 

方法,天元术便应运而生了。但在李冶之前,天元术还比较幼稚,记号混乱, 

演算烦琐。 

     李冶致力于创造一种简便的、适于各种问题的列方程方法。他认识到, 

只有摆脱几何思维束缚,建立一套不依赖于具体问题的固定程序,才能实现 

上述目的。 

     李冶总结出的列方程程序是: 

     首先立天元一,这相当于设x为未知数;然后寻找两个等值的而且至少 

有一个含天元的多项式;最后把两个等值多项式联为方程,通过“相消”化 

成标准形式 

        n      n…1 

     ax+ax +…a=0 

      n    n…1        0 



     李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作。 

      《测圆海镜》把勾股容圆(切圆)问题作为一个系统来研究,讨论了在 

各种条件下用天元术求圆径的问题。 

     卷一的圆城图式是全书出发点,书中170题都和这一图式有关。 

     卷一的另一部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆 

径的关系。 

     识别杂记共600余条,每条可看作一个定理 (或公式),其中最重要的 

是下面10个圆径公式 (D表直径,r表半径,a,b,c表勾、股、弦) 


… Page 9…

           1 

      (1) D2  
… Page 10…

                  2 

合并同类项,得2x-340x+ 12000= 0)。上下俱半之,得                (化简, 



    2 

得x-170x+6000=0)。以平方开之,得一百二十步(解方程,得 x=120)。 

倍之即圆径也,合问 (所以D=2×120=240)。 

    李冶由于摆脱了几何思维束缚,在方程理论上取得了四项进展: 

     第一,改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念,常数项可正可负, 

而不再拘泥于它的几何意义。例如:卷六第四问所得方程为 

       2 

    …x-72x+ 23040= 0, 

     第七问所得方程为 

       2 

    …x+640x-96000= 0, 

     两题常数项的符号恰好相反。实际上,《测圆海镜》中方程各项的符号 

均无限制,这是代数学的一个进步。 

     第二,李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程。书中 170题,有 19 

题列出三次方程,13题列出四次方程,还有一题列出六次方程。在这里,未 

知数已具有纯代数意义,二次方并非代表面积,三次方程也并非代表体积。 

     第三,李冶完整解决了分式方程问题,他已懂得用方程两边同乘一个整 

式的方法化分式方程为整式方程。 

     第四,李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数。当方程各项含有公因子 



 n 

x(n为正整数)时,李冶便令次数最低的项为实,其他各项均降低这一次 



                        n 

数。这一作法相当于用x去除方程各项。 

    李冶在《测圆海镜》中,采用了从0至9的完整数码。除0以外的9个 

数码古已有之,是筹式的反映。但筹式中遇0空位,没有符号0。李冶《测 

圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用0的两本算书。 

    秦九韶(1202—1261),字道古,普州安岳(今四川安岳)人。公元1247 

年9月,完成数学名著《数书九章》。 

    李冶的《测圆海镜》比秦九韶的《数书九章》成书的时间相差不过一年。 

    李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法。 

    李冶的负号与现在不同。是画在数字上的一条斜线,通常画在最后一位 

有效数字上,如…175记作          ,…360记作 

    在国外,德国人于15世纪才首先引入负号。 

    在李冶之前,小数记法离不开数名,如7。59875尺记作七尺五寸九分八 

厘七毫五丝。 

    李冶则取消数名,完全用数码表示小数,纯小数于个处写0,带小数于 



个位数下写步,如 0。25记作○=|||||, 5。76记作               这种记法在当 

时算是最先进的。 

    西方在16世纪,小数记法还很笨拙。例如比利时数学家S·斯蒂文在1585 

年发表的著作中,把每位小数都写上位数,加上圆圈,如 27。847写作 278 

①4②7③,这种记法显然不如李冶的记法简便。直到17世纪,英国数学家J·纳 

普尔 (1550—1617)发明小数点后,小数才有了更好的记法。 

    李冶由于掌握了一套完整的数字符号及性质符号,他的方程已能用符号 

表示,从而改变了用文字描述方程的旧面貌。但这时仍缺少运算符号,尤其 

是缺少等号。这样的代数,可称为“半符号代数”,它是近代符号代数的前 


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身。大约300年后,类似的半符号代数也在欧洲产生了。 

      《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作,而且在体例上也 

有创新。全书本上是一个演绎体系,卷一包含了解题所需的定义、定理、公 

式,后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术的方法推导出来。李冶以 

前的算术,一般采取问题集的形式,各章 (卷)内容大体上平列。李冶以演 

绎法著书,这是中国数学史上的一个进步。 


… Page 12…

                             四、会见忽必烈 



     李冶《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟,对后世具有深远的影响。 

     元代的王恂(1235—1281)、郭守敬(1231—1316),在编《授时历》 

的过程中,曾用天元术求周天弧度。不久,沙克什用天元术解决水利工程中 

的问题,收到了良好效果。 

     元代数学家朱世杰(公元13—14世纪)说: 

      “以天元演之,明源活法,省功数倍。” 

     清代阮元 (1764—1849)说: 

      “立天元者,自古算家之秘术;而海镜者,中土数学之宝书也。” 

     李冶写成《测圆海镜》以后,到太原住了一个时期,藩府官员曾请他出 

仕,但他谢绝了。后来,他又流落到平定。平定侯聂珪很尊重他,把他接到 

自己的帅府来住。他却“私心眷眷于旧游之地”,怀念着少年求学时的元氏。 

     公元1251年,李冶的经济情况已经好转,他终于结束了在山西的避难生 

活,回元氏定居。他在封龙山下买了一点田产,以维持生活,并开始收徒讲 

学,从事数学教育活动。 

     李冶的学生越来越多,家里逐渐容纳不下了,于是师生共同努力,在北 

宋李昉 (925—996)读书堂故基上建起了封龙书院。 

     李冶在书院不仅讲数学,也讲文学和其他知识。他呕心沥血,培养出大 

批人才,并常在工作之余与好友元好问、张德辉 (山西交城人)一起游封龙 

山,被人们称“龙山三老”。 

     在蒙古军队攻金过程中,中原地区的社会经济遭到严重破坏。由于害怕 

被占领地区人民的反抗,蒙古军每攻下一处,都实行残酷的屠杀,使大量人 

民丧失了生命。如攻占保州(今河北保定)、密州(今山东诸城)、卫州(今 

河南汲县)时,除工匠留下不杀外,其他人都一律杀死。此外,还大量掠夺 

 “驱口”,即奴隶。“掠者私其主”,实行谁掠夺来归谁有的政策。大军所 

过,麦苗被践踏,耕牛被掠走,堤堰被捣毁。因为不知道农业生产的重要性, 

有的人甚至主张尽杀汉人,改农田为牧场。如别迭等人就曾提出:“汉人无 

补于国,可悉空其人以为牧地。” 

     蒙古军的上述暴行理所当然地激起了中原人民的反抗斗争,即所谓“河 

朔盗起”,“河北群雄如牛毛”。有的起义军多达10万余人。在人民斗争的 

打击下,蒙古贵族内部发生了分化,出现了主张依然如故的守旧派和要求改 

变统治方式的革新派。蒙古族杰出的统治者忽必烈即属于后者。 

     忽必烈建元以前,蒙古汗国的政治中心一直在蒙古草原上的哈喇和林。 

燕京被成吉思

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