中外科学家发明家丛书:李善兰-第3节
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垛积体数目式体积
h h
V隙 = b ＇ （2b＋d） a＋ （2d＋b ）c＇ ＋ b （c … a）
其中a和c分别为垛积体上、下宽度，b和d分别为垛积体上、下长度，h
为垛积体的高度。
元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积问题，
分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为
n r
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n r
… Page 14…
和
n m
… Page 15…
这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，
就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。
李善兰说：
“任取一数，欲辨是数根否，古无法焉，”他“精思既久，待考之法四”，
即：
第一：屡乘求一法，
第二：天元求一法，
第三：小数回环法，
第四：准根分级法，
d
用以对已给的数N，找出最小的指数d，使a…1能被N整除，这里a是
与N互素的任何自然数。
李善兰证明了著名的费马素数定理（1640），并且指出它的逆定理不真。
d
亦即，若a…1能被 N整除，而 N是素数，则N…1能被d整除；但d能除尽
N…1，未必N一定是素数。
李善兰还进一步指出，若N非素数而d也能整除N…1，则N的因整必具
K＋1的形式，内p为能除尽d的数，k为自然数。只有任何具有k＋1形式
p p
的数都又能除尽N时，N才肯定是素数。
八、其它数学著作
李善兰在他所著的《椭圆正术解》中解释了徐有壬《椭圆正术》中行星
椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算法。
李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解开普勒方程。
李善兰的《火器真诀》则提出别具一格的图解法，以量代算，是我国第
一部精密科学意义上的弹道学著作。
∞
《级数回求》是通过几个特殊的幂级数y =
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（1727—1804）研究中国古代历法的《三统术衍》和介绍哥白尼学说的《地
球图说》等。
阮元主编，李锐、周治平参与编纂的《畴人传》，是一部著名的述评天
文、数学家活动的传记集。全书46卷，269篇，列叙中国上起三皇五帝时代，
下迄嘉庆初年去世的天文历法家、数学家275人，西洋天文学家、数学家和
来华传教士41人。传记一般是在姓名、字号，籍贯、科举出身和主要官职之
后以主要篇幅介绍传主有关天文学、数学的“议论行事”。有天文、数学著
作的，不论存佚，都列出名目，并录其序言，凡例，记其摘要。书中搜集整
理了丰富的天文数学史料。各篇传记之后，多有阮元撰写的“论”，对人物
的思想和工作进行评论，或对学术的源流沿革进行分析。
阮元在《畴人传》中有其进步意义的一面，但是又在书中宣扬“西学东
源说”，表现出狭隘性和历史的局限。他在书中介绍哥白尼学说后，还做有
贬低性的评论。
李善兰在《谈天》序中，大力表彰哥白尼、开普勒、牛顿等人不断探索
真理，“苟求其故”的科学态度，勇于批判阮元对哥白尼学说的攻击和钱大
昕对开普勒定律的实用主义观点，说阮元、钱大昕“未尝精心考察，而拘牵
经义，妄生议论，甚无谓也。”
李善兰在《星命论》中，揭露“术士专以五行之生克判人一生之休咎”
的荒诞无稽，他的议论非常透彻，发人深省。
十、小学略通术数，大隐不在山林
1874年，李善兰升为户部主事，加六品卿员外衔。
1876年升员外郎（五品卿衔），但他依然孜孜不倦地从事同文馆教学工
作，并埋头进行学术著述。
1877年演算《代数难题》。
1879年，李善兰又加四品卿衔。
1882年授三品卿衔户部正郎、广东司行走，总理各国事务衙门章京。一
时间，京师各“名公巨卿，皆折节与之交，声誉益噪”，但他“犹手著《级
数勾股》二卷，老而勤学如此。”
李善兰生性落拓，跌宕不羁，潜心科学，淡于利禄。曾国藩等赏识他，
“屡欲列之荐牍，皆力辞。”
晚年他虽官居内阁高位，但从来没有离开过同文馆教学岗位，也没有中
断过科学研究工作。他自署对联“小学略通术数，大隐不在山林”张贴门上，
表明他仍然以在野的隐士自居，而不与贪官污吏者同流合污。
十一、李善兰与华蘅芳
1882年12月9日，李善兰卒于北京，享年72岁。
李善兰早年在家乡娶妻许氏，无子；晚年在北京纳妾米氏，仍未得子；
乃过继外甥崔敬昌为嗣。敬昌字吟梅，曾任江海关文牍。
李善兰的一生以1852年为界，1852年以前，李善兰创立了尖锥术，在
他的尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可以生根、长
叶、开花、结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己特殊的方式走
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上近代数学的道路。但是，1852年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的
近代数学，并参与了把解析几何和微积分学介绍进中国的翻译工作。从此，
中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪流中。
在清末数学界，李善兰与华蘅芳 （1833—1902）的关系是脍炙人口的。
华蘅芳，字若汀，生在无锡南延乡荡口的一个小官僚家庭。
无锡是江南的富庶之区，地灵人杰，富有文化传统。华蘅芳14岁那年，
受同乡徐寿的影响，立志探求新的知识。一次，他从徐寿那里借到一本明代
算学家程大位 （1533—1606）的著作《算法综宗》，爱不释手，朝夕研读，
书中所列难题，硬是被他一个个地攻破了。这次学习，使他尝到了学习算学
的一些甜头，竟由此对算学产生了浓厚的兴趣，简直到了入迷的程度。他一
钻进书房，便整天不出门，还经常到书坊去搜求数学书籍。华蘅芳青少年时
代对数学有了相当多的了解，无师自通，通过自学，对上自秦汉下至明清时
期的中国古代大量算学著作进行了比较全面、系统的学习和钻研，从中汲取
了丰富的营养，为攀登数学科学的高峰打下了坚实的基础。
一次，华蘅芳得知上海有个名叫李善兰的数学家，正同外国天文数学家
伟烈亚力合作，一起翻译一部叫 《代微积拾级》的数学著作，便千里迢迢，
来到上海登门求教。
华蘅芳的诚恳、坦率和好学，使李善兰很受感动。李善兰不仅认真回答
了他所提出的一连串问题，而且还主动向他介绍了当今世界数学研究的情
况，使华蘅芳眼界大开。最后，李善兰慷慨地将自己已经译出的《代微积拾
级》手稿借给了他，让他抄写，供他研习。
华蘅芳如获至宝，回家乡后便足不出户地攻读。由于当时国外的数学水
平远高于我国，所以华蘅芳遇到了许多困难。一年过去了，还是弄不明白。
这可真把他难住了。他鼓起勇气，二赴上海向李善兰再次请教，李善兰不厌
其烦，耐心地向华蘅芳进行讲解，鼓励他要“反复钻研，持之以恒”。
上海之行，鼓起了华蘅芳继续钻研的风帆。经过认真努力的钻研，终于
找到了学习的秘诀：不求之过急，一步一个脚印地向前探索。这样一来，局
面逐步打开了，不到一年，他便领会了《代微积拾级》的精神实质。
华蘅芳的数学成就主要有开方术、积较术和数根术三个方面。
在《开方别术》等著作中，华蘅芳提出求整系数高次方程的整数根的新
方法——“数根开方法”，李善兰评价说：
“并诸商为一商，故无‘翻积’、‘益私’不特生面独开，且较旧法简
易十倍。”
“数根开方法”的缺点是不能求方程的无理数根。
在《积较术》等著作中，华蘅芳讨论招差法在代数整多项式研究和垛积
术中所起的作用。其中“诸乘方正元积较表”和“积较还原表”，分别定义
了两种计数函数，与所谓第一、二种斯特林数都有关系，从而给出一组乘方
乘垛互反公式和若干组合恒等式，是为计数理论的中心问题，在组合数学和
差分理论中都有一定的意义。
在《数根术解》等著作中，华蘅芳指出：
“有单位之数根（即素数），即可求两位之数根；有两位之数根，即可
求四位之数根。”他的具体方法是：“以单位之数根3、5与7连乘，得105，
以两位之数求等（即公约数），其有等者可以等数约之，故非数根；其无等
者除1之外俱不能度，故为数根。”这就是今天数学中的“筛法”，如是便
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得到两位数的素数21个。
华蘅芳还指出，随着自然数的位数增加，素数的间隔愈稀，但素数的个
数是无穷的。他用诸乘尖堆法证明了费马素数定理 （1640），与欧拉（1707
—1783）证法相似。但是他还是不能像李善兰《考数根法》中那样指出费马
定理的逆定理不真。
华蘅芳的数学成就受到当时数学界的高度评价。李善兰赞他：“独务精
深”，“空前绝后”；不过，华蘅芳的开方术、积较术、数根术，比起李善
兰的尖锥术、垛积术、素数论来讲，还是略有逊色。
华蘅芳对近代科学包括近代数学的翻译工作比他的数学著述更有成就和
影响。
华蘅芳在同外国人合作译书的过程中，发觉傅兰雅精于数学，又“深通
中国语言文字”，于是决定继李善兰、伟烈亚力翻译《代数学》、《代微积
拾级》之后，同傅兰雅合译西方近代数学书籍，以“补其所谓”。20余年间，
出版了以下7种：
《代数术》（英国人华来士撰，原载《大英百科全书》第八版，1853）
25卷，1872年初刊；
《三角数理》（英国人海麻士撰， 1858） 12卷， 1878年初刊；
《代数难题解法》（英国人伦德撰， 1878） 16卷， 1829年初刊；
《决疑数学》（英国人加洛韦撰，原载《大英百科全书》第八版，1853；
英国人安德森撰，《钱伯斯百科全书》新版，1860）10卷，1880年初刊；
《合数术》（即《代数总法》，美国人白尔尼撰， 1863） 11卷，1888
年初刊；
《算式别解》（一作《算式解法》，美国人休斯敦、肯内利合撰，1898）
14卷，1899初刊。
译成未刊者还有《相等算式理解》、《配数算法》等。
在上述各书中，华蘅芳介绍西方数学家的代数学、三角学、微积分学和
概率论，所含数学知识比李善兰的书丰富，内容也比较新颖。如《决疑数学》
是中国第一部编译的概率论著作，介绍了人口估测、人寿保险、预求定案准
确率和统计邮政、医疗事业中某些平均数的方法，令人耳目一新；还详细叙
述了西方概率论史、涉及著名数学家约30人，这就增进了中国数学界对西方
数学界的认识和了解。《代数难题解法》和《算式别解》都是原书刚刚出版，
第二年就译出刊行，及时反映了当时西方数学的水平。
在关于李善兰的学术研究方面，中国著名的数学史专家李俨（1892—
1963）在1955年由科学出版社出版的《中算史论丛》的第4集 （全书共5
集）书末附有李善兰、华蘅芳二人的年谱，是了解李善兰活动的重要资料。
在文化大革命期间，由于众所周知的原因，中断了对李善兰的研究工作。
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