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第6节

中外科学家发明家丛书:伽罗瓦_2-第6节

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根式解。 

                                                                 k      2k 

     举一将 n个方程式写作一个的一组一次方程为例:x+ρx2+ρ x3 

                                                            1 

+……+ρ(n…1)kx=r,③此处k的值可为0与n-1之间的任何整数,如 

                   n k 



当k=0时,③就为 

     x+x+x+……+x=r0 

      1 2 3           n 



     当k=1时,③为 

          x    2             n…1 

     x+ρ2+ρx3+……+ρ xn=r, 

      1                             1 



     以下,依次类推。 

     因为一个方程式的最高次项系数若是1,则诸根之和等于方程式中第二 

项的系数的负值,所以r之值可以直接从方程式的系数中求得。如果把置换 

                        o 



 (1     2……n3)用于③式的左端,③式左端为 

          k      2k            (n…1)k 

     x+ρx3+ρ x4+……+ρ           x 

      2                              1 



     所以说置换 (1 2 3……n) 

                     …k           n 

     将r之值变为ρ rk。又因P=1,故 

         k 

           n       …k  n 

      (r)=(ρr), 

        k             k 



                                       n 

     所以置换 (1 2……n3)不变更r的值。同理,群中其它置换也不改 

                                        k 



    n 

变r的值。这就是说,所有r的值都可由根式得到。由③,可将x用ρ与r 

     k 



表示,则方程式③可用根式解。这样,就证明了:如果方程式在一个数域中 

的群是元素个数为质数巡回正置换群,则此方程式一定能用根式解。 

     举例来说,方程式 

      3 

     x…3x+1=0 

     在有理数域中的群是 1,(1 2 3),(1 3 2)。它是一个元素个数为 

质数的巡回正置换群,所以可从x+x+x=0, 

                                  1 2 3 

               2 

     x+ωx+ωx=r, 

      1    2     3 1 

          2 

     x+ωx+ωx=r, 

      1     2    3  2 



     这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根,r与r可以 

                                                                 1    2 



由数域中的数的根数得出。换句话说,如果把这种根数加入到数域中,则x 

都存在于扩大的数域中。 

     在一般情况下,常可以 

      2            2          2                2 

     y=(x-x) (x-x)……(x …x)作第一个辅助方程式,其右 

           1  2        1  3            n…1n 



端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话,那 

么,上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式 

      2 

     x+bx+c=0 

     的两个根x,x的差的平方是 

                1  2 

              2           2           2 

      (x…x)=(x+x)-4xx=b-4c,这恰是方程式的判别式。同样, 

        1 2         1 2         12 



高次方程式的判别式也可从系数求得。 

     再设所要解的方程式是一般的三次方程式,将第一个辅助方程式的根加 

入原数域后,方程的群为H,即一个元数为质数的巡回正置换群。这样,可 

利用 

     x+x+x=…b, 

      1 2 3 


… Page 21…

               2             2 

     x+ωx+ωx=r,x+ωx+ωx=r, 

      1    2     3 1  1        2     3  2 



     这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r,r可由数域中数的根数 

                                                  1  2 



求得。x,x,x存在于这个最后经r,r的加入而扩大成的数域中。 

        1    2  3                      1  2 



     这样就证明了:方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域 

中的群若是一个可解群,则此方程式是可以用根式解的。 

     伽罗瓦的群论,是解决数学问题的重要工具,它对于数学就如同语言对 

于人的重要性一样。正像人们评价的,“无论在什么地方,只要能应用群论, 

就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学 

思想出色的新工具之一”。 


… Page 22…


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