中外科学家发明家丛书:伽罗瓦_2-第6节
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根式解。
k 2k
举一将 n个方程式写作一个的一组一次方程为例：x＋ρx2＋ρ x3
1
＋……＋ρ（n…1）kx=r，③此处k的值可为0与n－1之间的任何整数，如
n k
当k＝0时，③就为
x＋x＋x＋……＋x=r0
1 2 3 n
当k＝1时，③为
x 2 n…1
x＋ρ2＋ρx3＋……＋ρ xn=r，
1 1
以下，依次类推。
因为一个方程式的最高次项系数若是1，则诸根之和等于方程式中第二
项的系数的负值，所以r之值可以直接从方程式的系数中求得。如果把置换
o
（1 2……n3）用于③式的左端，③式左端为
k 2k （n…1）k
x＋ρx3＋ρ x4＋……＋ρ x
2 1
所以说置换 （1 2 3……n）
…k n
将r之值变为ρ rk。又因P＝1，故
k
n …k n
（r）＝（ρr），
k k
n
所以置换 （1 2……n3）不变更r的值。同理，群中其它置换也不改
k
n
变r的值。这就是说，所有r的值都可由根式得到。由③，可将x用ρ与r
k
表示，则方程式③可用根式解。这样，就证明了：如果方程式在一个数域中
的群是元素个数为质数巡回正置换群，则此方程式一定能用根式解。
举例来说，方程式
3
x…3x＋1＝0
在有理数域中的群是 1，（1 2 3），（1 3 2）。它是一个元素个数为
质数的巡回正置换群，所以可从x＋x＋x＝0，
1 2 3
2
x＋ωx＋ωx=r，
1 2 3 1
2
x＋ωx＋ωx＝r，
1 2 3 2
这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根，r与r可以
1 2
由数域中的数的根数得出。换句话说，如果把这种根数加入到数域中，则x
都存在于扩大的数域中。
在一般情况下，常可以
2 2 2 2
y=（x－x） （x－x）……（x …x）作第一个辅助方程式，其右
1 2 1 3 n…1n
端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话，那
么，上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式
2
x＋bx＋c＝0
的两个根x，x的差的平方是
1 2
2 2 2
（x…x）＝（x＋x）－4xx＝b－4c，这恰是方程式的判别式。同样，
1 2 1 2 12
高次方程式的判别式也可从系数求得。
再设所要解的方程式是一般的三次方程式，将第一个辅助方程式的根加
入原数域后，方程的群为H，即一个元数为质数的巡回正置换群。这样，可
利用
x＋x＋x=…b，
1 2 3
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2 2
x＋ωx＋ωx=r，x＋ωx＋ωx＝r，
1 2 3 1 1 2 3 2
这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r，r可由数域中数的根数
1 2
求得。x，x，x存在于这个最后经r，r的加入而扩大成的数域中。
1 2 3 1 2
这样就证明了：方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域
中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式解的。
伽罗瓦的群论，是解决数学问题的重要工具，它对于数学就如同语言对
于人的重要性一样。正像人们评价的，“无论在什么地方，只要能应用群论，
就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学
思想出色的新工具之一”。
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