中外科学家发明家丛书:伽罗瓦_2-第4节
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合才能得到发展,而在配合之中,偶然性所起的作用远非微不足道的;科学
的生命是混沌一团的,它好比由于矿层的毗连而相互交错的矿物。这种情况
不仅适用于由众多科学家的工作成果所构成的整个科学界,而且也适用于其
中每一个科学家的单独研究工作。分析家们用不着欺骗自己,因为他们并不
是在演绎真理,而是在进行组合;他们领会真理是徘徊于左右之间的。”
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虽然伽罗瓦的科学活动惊人的短促,但他的研究成果是辉煌的。他的著
作,标志着数学前史的结束和数学史的开始。
在伽罗瓦的著作中,所说的“把数学运算归类”指的就是群论,即从19
世纪末叶开始,对数学分析、几何学、力学、物理学的发展有着巨大影响的
群论。创立这个理论的荣誉属于伽罗瓦,因为他是第一个估计到这个理论对
科学发展的意义的先驱。
伽罗瓦所研究的求解代数方程的问题,长期以来吸引着数学家们的注
意。解方程,意即求出它的根值。在求一次和一次方程的根时很容易,但在
三次方程中,就不太容易了。而伽罗瓦研究的是任意次方程,即方程的一般
情况。
从实践观点来看,无论形式多么复杂的任何具体方程的解并没有任何意
义。早在16世纪,数学家就已经发现,使用能确定方程根的近似值的方法较
为便当。这些近似值充分满足了物理学家、化学家和工程师的需要。但对于
使用字母作系数的一般方程来说,近似法是求不出它的根值的。伽罗瓦的第
一个发明就在于他把这些根值的不定式的次数减低下来,确定这些根的某些
特征。伽罗瓦的第二个发明就是他所使用的求得结果的方法,即他并不研究
方程本身,而研究它的“群”,也就是研究它的“家族”。
“群”的概念是在伽罗瓦著作提出之前不久才出现的。但当时,它只不
过像是一个没有灵魂的躯体,是偶尔出现在数学上的、人为臆断的大量概念
之一。伽罗瓦的贡献不仅在于他使这个理论具有生命,还在于他以独创精神
赋予这个理论以必要的完整性;伽罗瓦指出,这一理论富有成效,并且把它
运用到解代数方程的具体习题上。所以,埃瓦里斯特·伽罗瓦是群论的真正
创始人。
在数学科学中,“群”被看作是具有某种共同特性的对象总和,譬如奇
数群 (不能被2整除的数的集合),它的特性在于如果令群中的任意两个数
相乘,则其积仍为奇数,如3乘3等于9,当实例从简单到复杂时,则可以
选择关于某些对象的运算自身作为“对象”。在这种情况下,群的主要特征
表现为任意两种运算的结合也是一种运算。伽罗瓦在分析求解的方程时,就
是把某种运算群与这个方程联系起来,并证明方程的特性反映在该群的特点
上。由于不同的方程可以“‘有”同一个群,所以无须研究所有的方程,只
须研究与之相适应的群就可以了。这一发现标志着数学发展的现阶段的开
始。
不论群是由什么“对象”——数、位移或运算——组成,这些对象都可
被视为是不具有任何特征的抽象的东西。而要测定群,只须说明为了使某“对
象”的总和可以称为群而应遵循的共同规则就可以了。这些规则就是群的公
理,群论是依据这些公理运用逻辑总结出来的结果。这一理论在证实不断被
发现的新的特性过程中得到了发展。群论为研究工作提供了新的数学工具。
人类认识的发展过程是不平衡的,有时候某一方面的进展会暂时中断。
科学也会在某个时期处于停滞之中,昏昏欲睡。科学家们从事琐碎的事情,
把贫乏的思想隐藏在华丽的计算后面。19世纪初期的数学发展状况就处在停
滞阶段。因为在当时,代数变换已演进得很复杂了,以致向前发展实际上成
为不可能的事情了。数学家们不再能够“预见”了。因此,寻找新道路以推
动科学发展就成了时代的需要。对此,伽罗瓦曾说:“在数学中,正如在任
何其他科学中一样,有一些需要在这一时代求得解决的问题。这是一些吸引
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先进思想家思想而不以他们个人的意志和意识为转移的迫切问题。”
伽罗瓦以他的著作,开始了数学科学新的繁荣时期。群的概念的建立,
使数学们家摆脱了研究大量的、各式各样的理论的繁重负担。伽罗瓦曾指出:
“我在这里进行分析之分析”,这种想法表明了他竭力想使这些新的、像辞
汇表那样具有实用意义的方法得到运用。所以说群论首先是数学语言的整
理。
有些人谴责伽罗瓦参与政治活动,说他过分年轻,行为过激而招致杀身
之祸。他们认为科学家的工作是超时间和超空间的,科学家应该在某种抽象
的世界中生活,进行创造。这种观念使他们不能认清伽罗瓦在科学上所作的
贡献的价值。与这种偏见不同,伽罗瓦反对科学家的天生孤独性。他相信:
“科学家生来并不比其他人更要过孤独的生活;他们也是属于特定时代的
人,而且迟早要协同合作。到了那时候,将有多少时间腾出来用于科学呀!”
正因为伽罗瓦把科学理想与社会理想结合起来,并为实现它们而奋斗,
所以他成了一位杰出的数学家和勇敢的革命者。可以说,伽罗瓦短暂的一生
是伟大的。
三、伽罗瓦与群论
群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了,而其理论的应用、
发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的
内容,建立起群论学并加以完善,从而改变了19世纪初叶,数学科学发展的
停滞状况,开创了新的繁荣时期。所以说,伽罗瓦对科学的重大贡献就在于
他对群论的贡献。因此,要了解伽罗瓦,就必须了解群论。
1.群的重要
解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依他的次数来分
类。
一次方程式ax+b=0的解答很容易得出,是
x=…b/a
二次方程式
2
ax+bx+c=0的解是
x=(… b± b2 …4ac )/2a
但是,三次方程式
3 2
ax+bx+cx+d=0
和四次方程式
4 3 2
ax+ bx+cx+ dx+e= 0
的解法就比解一次、二次方程式难得多了,直到16世纪才有了解法。
当方程式的次数增大时,解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会
解高于四次的方程式,却都相信一定是能办到的。直到19世纪,利用群论的
道理,才证明了这是不可能的事。因为一个问题能否解决要看对于解答所加
的限制条件而定。譬如
x+5=3
如果允许x为负数的话,此方程可解;若限定x不能是负数,则此方程
式就不能解了。同样,假如x表示饼数,方程式
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2x+3=10
1
是可解的。但倘若x表示人数、这个方程式就不能解了,因为 x =3 (人)
2
没有意义。
再如,一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对
它进行分解。如
2
x+1
在实数域中是不可分解的,可是在复数域却是可分的,因为
2
x+1=(x+i)(x…i),
其中i=
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例如:
在 (a)中,主元素是0,因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。
在 (b)中,主元素是1,因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。
在 (c)中,主元素是那个将x代作x,x代作x,x代作x的置换,
1 1 2 2 3 3
因为任何置换和自身结合的结果是不变的。
在(d)中,主元素是那个360°的旋转,因为系统中的任意一个旋转和
此旋转结合的结果仍为自身。
(3)每个元素必须有一个逆元素,即一个元素和其逆元素用系统中的运
算结合的结果是主元素。
例如:
在 (a)中,3的逆元素是…3,因为3加…3的和是0。
在 (b)中,a/b的逆元素是b/a,因为a/b和b/a相乘的积是1。
在(C)中,将x代作x,x代作x,x代作x的置换的逆元素是将x
1 2 2 3 3 1 2
代作x,x代作x,x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将
1 3 2 1 3
x代作x,x代作x,x代作x的置换。
2 2 3 3 1 1
在 (d)中,60°的旋转(按顺时针方向)的逆元素是一个…60°的旋转
(按逆时针方向)。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。
(4)结合律必须成立。
例如,设a,b,c是任意三个元素,又设运算用记号O表示,则结合律
指
(aOb)Oc=aO(bOc)
应用到系统 (a)中,为
(3+4)+ 5=3+(4+ 5)
所以结合律在 (a)中能成立。
对于一个系统,它是否成群,不但要看它的元素,还要看它的运算才能
决定。
3.群的重要性质
伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。
在表示置换时,为了方便起见而采取一种简单的记法,即在记x,x,
1 2
x时可将x省去,只用1,2,3来表示。例如一个将x代作x,x代作x,
3 1 2 2 3
x代作x的置换,可以简单的记作( 1 2 3)
3 1
这个记号的意思是说:
1变作2,2变作3,3变作1。
换句话说,就是
x变作x,x变作x,x变作x。
1 2 2 3 3 1
同样,(1 3 2)则表示一个将x变作x,x变作x,x变作x的置换。
1 3 3 2 2 1
又如
(1 3)(2)或(1 3)
表示一个将x代作x,x代作x,x代作x的置换。
1 3 3 1 2 2
有时一个群的部分元素自己形成一群,这种群称为“约群”。例如,前
面(a)例中,一切整数对于加法而言,为一群。若单拿一切偶数来看,对于
加法,他们也成一群;因为群的四个性质它都适合:
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(1)两个偶数的和还是偶数。
(2)0是主元素。
(3)一个正偶数有相应的负偶数作逆元素,而一个负偶数的逆元素是正
偶数。
(4)结合律成立。
所以,偶数群是整数群的约群。
伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。
在约群中,最重要的是“不变约群”,即一个约群中的任何元素应用原
来的群中任何元素的变形,'例如设有一个元素 (1 2),用另一个元素(1 2
3)去右乘它,再用(1 2 3)的逆元素(1 3 2)去左乘它,所得的结果是
(1 3 2)(1 2)(1 2 3)=(2 3),
这个结果 (2 )就称为3 (1 )应用2 (1 2 3)的变形。'若仍是约群
中的元素,这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群,但不是真约群