中外科学家发明家丛书:高斯-第2节

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了这种作图的可能性的条件。假期结束后，高斯带着他的结果去见哥廷根大　

学教授、他的老师克斯特纳。克斯特纳听说高斯正在进行正17边形的作图，　

并且称自己已经解决了，很不相信。他告诉高斯，关于这个问题的精确解是　

不可能得出的，得出的只能是近似解。他不相信高斯的成果，把高斯赶出了　


…　Page　7…

家门。　

　　　　　事实上，高斯的答案是正确的，他不仅解决了正17边形的尺规作图，而　

且对这类作图问题的可能性作了一揽子回答。他的结论是：“一个正n边形　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　m　

能用尺规作出，仅仅在n可表示为如下形式时才是可能：n=2·pp…p；其　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12　　n　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2k　

中　p，p，…，p为各不相同之素数，且具有2＋1形式。”特别是，当　n　

　　　　　1　　2　　　　　　　　n　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2k　

为素数时，n具有2＋1形式即为尺、规作正n边形的充分条件。根据这个　

结论，人们就可以毫不费力地断定，哪些正多边形是可用尺规作出的，哪些　

则不可用尺规作出。比如，正17边形虽然能用尺规作出，但边数比它少的正　

7、9、11、13边形却不能。这样，困扰了几何学家达2000年之久的难题终　

于被这位18岁的德国青年作出了完满的答案。下面是正17边形的尺规作法：　

　　　　　正17边形的完整作法只需一页篇幅；正257边形的尺规作图就要占用　

80页纸；而后来数学家盖尔英斯按照高斯方法作出的正65537边形的手稿整　

整装满了一只手提箱。这份手稿至今仍保存在哥廷根大学的图书馆里。　

　　　　　1796年6月1日，在《文献汇报》的知识分子专栏中，通过学校一些教　

授的推荐，高斯发表了他关于成功画出正17边形的第一篇论文，并将这一最　

新发现公诸于世，齐默尔曼教授在推荐文中指出：这是数学上的巨大成果，　

完成这一成果的是一位年仅18岁的大学生，而且他在古典文学上的造诣也不　

亚于高等数学的成就。　

　　　　　这次成功使高斯大为振奋，从此他下决心把毕生精力奉献给数学科学。　

他十分珍视这一成果，并希望死后能在他的墓碑上刻上正17边形的图案。　

　　　　　从1795至1798年的大学三年间，是高斯思维的旺盛时期。各种神奇般　

的想法，像喷泉般地涌流出来，它涉及到数论、代数、分析、几何、概率论　

等各个方面。高斯后来发表的成果都可以在这个时期里追溯到思想的脉络。　

　　　　　1798年9月29日，高斯以优异的成绩结束了在哥廷根大学的学习生活。　

大学毕业后，高斯没有立即找工作。他回到家乡布伦瑞克赶写博士论文。　

　　　　　当时，高斯可选择的论文题目有很多，但他选择了代数基本定理的证明　

这一难度大影响大的论题。论文第二年完成，题目是：　《关于每一单变量代　

表整函数都可分解为一阶或二阶实因子之积的证明》。论文以十分新颖的思　

考方式对代数方程根的存在作了严格的论证。高斯的方法不是去计算一个　

根，而是去证明它的存在。他指出P（x＋iy）＝0的复根a＋ib相当于平面上　

的点（a，b），如果P（x＋iy）＝U（x，y）＋iV（x，y），那么（a，b）　

必定是曲线U（x，y）＝0和V（x，y）＝0的交点。通过对这些曲线作定性　

的研究，他证明了一条曲线上的一段连续弧连结着两个不同区域上的点，而　

这两个区域是被另一条曲线隔开的，所以曲线U（x，y）＝0和曲线V（x，y）　

＝0必相交。　

　　　　　高斯的论文除提交给赫尔姆斯塔特大学外，还分发给了当时他认为有资　

格对其代数基本定理的论证进行专业评价的37个人和机构。由于高斯的论文　

解决了前数学家达朗贝尔、欧拉和拉格朗日试图解决而没有解决的问题，因　

此，他的论文受到赫尔姆斯塔特大学校务委员会的肯定。在高斯缺席答辩的　

情况下，通过了论文。论文评定人是该大学著名的数学教授普法夫。他对高　

斯的评语是：“这篇论文具有许多优点，说明作者才华突出，通篇叙述充满　

了完全合理的推论和令人信服的证明。因此，这篇论文出版以后，高斯博士　

学位将为我们大学增添无比的荣誉。”因此，高斯获得了博士学位。同年，　

高斯获得讲师职称。　


…　Page　8…

　　　　　高斯的论文虽然获得了成功，但是，这成功的背后却有着艰辛的历程。　

　　　　　高斯大学毕业后，斐迪南公爵承诺的义务即告完成。高斯在找工作中遇　

到了困难。他只收了几个学生，时断时续的学费收入仅够他购买每天需要的　

面包和纸张，至多只允许他偶尔喝上一杯咖啡。像高斯这样一个颇有名望的　

数学家，为什么收不到学生呢？原因是高斯讲课和他著作一样字斟句酌，言　

简意赅，他不重复在他看来浅显易懂的道理，这使得一般学生远远跟不上他　

敏捷的思路。生活的艰辛，终于使他病倒。即使这样，高斯在致斐迪南公爵　

的信中从未提起自己生活的窘迫。后来，他的朋友巴蒂尔把这个消息告诉了　

公爵。斐迪南公爵又一次雪中送炭。他不仅为高斯偿还了债务，而且决定继　

续提供津贴，让高斯安心研究而不致受贫穷的困扰。如果没有公爵的资助，　

高斯也许不能够顺利地完成研究工作。　


…　Page　9…

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三、数论与　《算术研究》　



　　　　　1801年，高斯的名著《算术研究》问世。《算术研究》是用拉丁文写成　

的。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。1800年，　

高斯将手稿寄给法国科学院，请求出版，却遭到拒绝，于是高斯只好自筹资　

金发表。　

　　　　　在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：“本书所研究　

的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。”　

　　　　　　《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统　

状态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系　

统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这　

些问题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。全书共有三个核心课题：　

同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越　

成就。　

　　　　　同余是《算术研究》中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提　

出的，但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨　

论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他　

还运用幂的同余理论证明了费马小定理。　

　　　　　二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地　

位。正如美国现代数学家狄克逊　（1874—1954）所说：“它是数论中最重要　

的工具，并且在数论发展史上占有中心位置。”其实，高斯早在1796年就已　

经得出了这个定理及其证明。发表在《算术研究》中的则是另一种证明。　

　　　　　从二次互反律出发，高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律，以及　

与此相联系的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而　

简单，高斯又发展出了复整数和复整数数论；而它的进一步结果必然是代数　

数理论，这方面由高斯的学生戴德金　（1831—1916）作出了决定性的贡献。　

　　　　　在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他　

从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列　

关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要　

性——用于证明任何多个关于整数数的定理。正是由于高斯的带领，使型的　

理论成为19世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述　

是如今所谓数的几何学的开端。　

　　　　　高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。首先是对复数的承认，这　

是个老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞　

不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的　

证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的　

承认，扩大到在重大的代数问题的证明中来确认复数的地位。高斯以其对该　

定理的高超证明，使数学界不仅对高斯而且对复数刮目相待。高斯不仅如此，　

他又把复数带进了数论，并且创立了复整数理论。在这一理论中，高斯证明　

了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明　

了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数　

中得出并证明，只要不把四个可逆元素（±1，±i）作为不同的因数，那么　

这个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通　

素数的许多定理都可能转化为复数的定理　（扩大到复数领域）。　


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　　　　　　《算术研究》似乎任何一个学过中学普通代数的人都可以理解，但是，　

它完全不是给初学者看的。在当时，读懂这本书的人较少。困难不是详细的　

计算示例而是对主题的理解和对深奥思路的认识。由于全书有7个部分，人　

们风趣地称它是部“加七道封漆的著作”。　

　　　　　　《算术研究》出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利　

克雷（1805—1859）就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、　

数论等有多方面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝，把书藏在罩袍　

里贴胸的地方，走到哪儿带到哪儿，一有空就拿出来阅读。晚上睡觉的时候，　

把它垫在枕头下面，在睡前还读上几段。功夫不负有心人，凭着这股坚韧不　

拔的毅力，狄利克雷终于第一个打开了“七道封漆”。后来他以通俗的形式　

对《算术研究》作了详细的介绍和解释，使这部艰深的作品逐渐为较多的人　

所理解和掌握。　

　　　　　关于《算术研究》和狄利克雷之间还有一段感人的故事。1849年7月16　

日，正好是高斯获得博士学位50周年。哥廷根大学举行庆祝活动，其中有一　

个别出心裁的节目，他们要高斯用《算术研究》中一页原稿来点燃自己的烟　

斗。狄利克雷正好站在高斯身旁，他看到这个情景完全惊呆了。在最后一刹　

那，他不顾一切地从自己恩师的手中抢下了这页原稿，并把它珍藏起来。这　

页手稿直到狄利克雷逝世以后，编辑人员在整理他的遗稿中才重新发现了　

它。　

　　　　　　《算术研究》发表后，拉格朗日曾经悲观地以为“矿源已经挖尽”、数　

学正濒临绝境，当他看完《算术研究》后兴奋地看到了希望的曙光。这位68　

岁高龄的老人致信高斯表示由衷的祝贺：　

　　　　　　“您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家。我认为，最后一　

章包含了最优美的分析的发现。为寻找这一发现，人们作了长时间的探　

索。……相信我，没有人比我更真诚地为您的成就欢呼。”　

　　　　　关于这部著作，19世纪德国著名数学史家莫里茨·康托曾发表过高见，　

他说：　

　　　　　　“高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是　

真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章。”　

　　　　　　《算术研究》是高斯一生中的巨著。暮年高斯在谈到这部书时说：“《算　

术研究》是历史的财富。”　

　　　　　高斯原本计划继续撰写《算术研究》第2卷，但由于工作的变化和研究　

兴趣的转移，这一计划未能实现。　

　　　　　高斯的许多数学成就都是在他去世后才被人们发现的。从1796年3月　

30日高斯用尺规作出正17边形后，他开始记科学日记，并且长期坚持下来，　

到1814年7月9日。高斯的科学日记是1898年哥廷根皇家学会为了研究高　

斯，向高斯的孙子借来