21世纪的牛顿力学 作者:程稳平程实平-第16节

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系中测定的示值受力，反比于该物体本身所具有的惯性质量大小。
　　采用数学归纳法证明如下：
　　首先，空间的任一物体m总可以与空间存在的其它某个物体组成一个物体系统，当我们将参照系建立在该组成物体系统的质心上时，该指定物体相对于该参照系具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律。所以，对于在空间任一指定的物体，都至少存在一个可以确定的空间参照系k，使得该物体相对于它具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律。
　　既然空间的任一物体m相对于在空间给定的某个可确定的K参照系具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律，则物体m相对于该参照系所具有的加速度与其在同一参照系中测定的示值受力满足关系式　。现在空间任意给定另一个参照系，令为　k′参照系，k′参照系相对于k参照系以加速度运动着。根据矢量的合成规则，物体m相加于k′参加系具有的加速度满足关系式：

　　它表明物体m相对在空间任意给定的另一个参照系也具有牛顿第二定律所描述的运动速度改变规律。＇证毕＇
　　从形式上来看，牛顿第二定理可以适用于在空间任意给定的一切参照系，而只要我们牢牢地记住：任意物体相对于某个任意给定的参照系所具有的加速度是与该物体在同一给定参照系里测定的示值受力成正比。与此同时，人们也必须清楚地认识到：一般形式下的牛顿第二定理是建立在系统运动学的运动定律基础之上的推广形式，因此它必须收敛于系统运动力学的运动定律。换句话说，人们在空间实际给定的参照系决不能脱离空间实际存在的群体物体的相互作用情况而进行随意地虚构。根据最基本的分析思路，如果我们在空间任意给定的参照系本身都没有保持其存在的前提条件，我们也就不能用力学实验来测定某个物体在这个虚构的参照系中的示值受力情况，此时用一般形式下的牛顿第二定理公式计算出来的作用力就只有形式上的表示意义而不具有任何实际的物理意义。不仅如此，如果在空间给定的参照系本身的运动状态还会随着被观察物体的运动状态改变而发生变化，我们也不能用力学实验测定出相对于该参照系处于非静止状态中的运动物体在该参照系中的示值受力情况，此时按照一般形式下的牛顿第二定理公式计算出来的作用力将由于不具有可检测性质而失去意义。因此，人们在空间给定的参照系都必须满足如下两个必要条件：
　　1。　给定参照系必须有确定其实际存在的保证物体；
　　2。　被观察物体的运动无论发生什么变化，给定参照系的运动状态都不会受其影响。
　　根据这两个必要的前提条件可以推知：人们在空间给出的能够使在空间客观存在的某个指定物体，相对于它既具有牛顿第二定理所描述的运动速度改变规律，又能够用力学实验对计算结果进行检验的空间参照系，必定是建立在包括该指定物体在内的某个指定物体系统的质心上的系统质心参照系。此时用牛顿第二定理公式计算出来的作用力，可按照如下理想力学实验进行测定：沿着与每个物体相对于所组成物体系统的质心参照系所具有的加速度方向相反的方向，分别用一只测量范围足够大、而其质量可忽略的理想测力计将指定物体系统中的全体物体同组成物体系统的质心参照系连接起来，在保持与运动状态的瞬态位置相同的情况下处于相对静止之中时，每个测力计所显示的数值便是对应连接物体在给定系统质心参照系中测定的示值受力。如果在指物体系统中存在着一个质量相对极大的物体，上述实验就可以简化为测定被观察物体相对于该极大物体的示值受力。



八、系统运动力学公式的使用条件

　　作为一个完整的理论体系，人们必须知道〃系统运动力学〃中的数学表达式子能够在什么范围内可以正确地应用和在应用时应该受到什么样的数学条件所限制。现代的研究结果证明：质量与能量是同一回事，质量只不过是人们根据实物的惯性大小或万有引力作用大小，对实物形式的能量集合体进行的另外一种计量单位的测定结果。因此在质量m的计量单位与能量E的计量单位之间，人们可以通过一个〃质能转换系数〃K将它们表示成：E　=　Km　。为了便于说明，我们把物体在运动速度不为零之时的瞬态质量称作〃动质量〃，而把物体在静止状态时的质量称作〃静质量〃。当我们用E表示物体m相对于包括它在内的某个完整物体系统的系统质心参照系以速度V→　运动时所对应具有的惯性能量，用ε表示该物体相对于同一惯性参照系所具有的动能时，显然有：


　　这意味着任何静止质量大于零的物体相对于在空间实际可以给出的系统质心参照系所具的运动速度永远小于C。而物体获得的动能ε则可从如下式子计算得到：

　　这说明物体的运动速度远远小于光速时，它的瞬态质量近似等于静止状态下测定的静止质量。下面我们继续推导物体系统的总动量关系表达式。


　　它说明：当物体相对于包括它在内的某个完整物体系统的系统质心参照系所具的运动速度变化量足够大时，原先给出的运动力学定律就不再准确地成立了。地面上的物体相对于地面参照系所具有的加速度a　≤　105　g　＝　106　米/　秒2　、　矢径r　＜　108米　，　通常都不大于1014米2/秒2，而其具有的运动速率也不大于　104米/秒，　故此　　。在这样的限定条件下，上述的系统总动量关系式子则可近似地写成：　
　　
　　请注意：我们在上述的公式推导过程中，已经采用了物体的瞬态动质量。根据所得到的数学推导结果表明，当物体相对于包括它在内的某个完整物体系统的系统质心参照系所具的运动速度变化量不是足够大时，系统运动力学定律就可以准确地成立。尤其是在被考察物体的运动速度都远远的小于光速的条件下，系统运动力学定律的数学表达公式将能够很精确地成立。



九、实际应用中的注意点

　　从理论上讲，在我们选定了某个用来观察、描述各个物体相对于它所进行的相对运动的惯性参照系统后，诸物体相对于给定参照系的运动规律都可以惟一地给定出来。然而，在实际遇到的问题中，某些物体的运动方程由于受到观察上的限制，并不能直接表示出来。此时我们就可能需要引入非惯性运动物体来建立一个过渡性的中介观察参照系，用来帮助我们分析具体物体的运动规律。
　　在惯性参照系中，凡是受到合力为　作用的物体都要以相应的加速度　改变着自己的运动速度。根据力的等效代换规则，每个物体的运动加速度都可以等效为某个预定的公共加速度与另一个可惟一确定的加速度之矢量和。当我们在给定的惯性参照系中选定某个非惯性运动物体作为中介观察物并以它建立起中介观察参照系时，各物体相对于原始给定的惯性参照系所具有的加速度　就等效于各个物体相对于中介观察系所具有的加速度　与中介观察参照系相对于原始给定的惯性参照系所具有的加速度之矢量和。在牛顿力学中，…　被称做惯性力，并且认为只要在非惯性系中加上惯性力，力学定律就可以在非惯性系中适用。显然，这种说法是一个历史性的误解。我们现在应该把由于引入非惯性参照系而在运动方程表达式中出现的增加项　…　　正名为中介转换力。同时，我们应该澄清楚：惯性力是具有一定质量的物体在受到其它物体的作用而改变自己的运动速度时企图阻止自己的运动速度改变的反抗作用。而与我们所定义的物体间的相互作用不同，惯性力是类似于电子学里的自感电动势那样的概念。人们并没有把通过电感线圈的电流发生改变时产生的自感电动势认为是虚构的物理量。同样，惯性力也不是虚构出来的概念。无论我们是否引入了非惯性参照系，也不管我们是否喜欢，惯性力作为运动的一个特性都存在于自然世界中。至于惯性力这个名称取得是否适当，人们需要从历史的角度去进行考虑。但是有一点可以肯定，那就是具体的名称叫做什么并不重要，重要的是我们必须准确地知道它的本质含义。
　　鉴于实用的非惯性参照系是人们基于已经给定的惯性参照系而选择来，用于观察、研究某些不易直接确定其运动参数的物体运动现象的过渡性中介观察参照系。人们在非惯性参照系中进行的所有数学公式推导，都必须收敛于给定惯性参照系中的运动学定律。为此，人们在运用它来求解运动学问题时必须把握好如下几个要点：
　　1。　在选定非惯性参照系时，应说明已经给定的惯性参照系是谁，不加说明时约定地面作为已经给定的惯性参照系。　同时在选定的非惯性参照系坐标原点，标明该非惯性参照系相对于给定惯性系所具有的加速度方向。
　　2。　在作某个物体相对于非惯性参照系的受力图时，应在其旁边画出所选定的非惯性参照系，同时在物体受力图上标出中介转换力　…　　，负号表示其方向与非惯性参照系的加速度方向相反。
　　3。　在作出某个物体相对于非惯性参照系的具体受力图时，除中介转换力是相应于非惯性参照系而加上去的非真实力外，其它所有的真实受力均与其在给定惯性参照系中的受力状况完全相同。
　　4。　在列出某个物体相对于非惯性参照系的运动方程时，应注意物体〃获得〃的加速度是该物体相对于非惯性参照系的运动加速度。非惯性参照系的坐标轴可以与给定惯性参照系的坐标轴不平行。但请注意所有的受力，包括中介转换力，以及物体间相对运动的加速度都是准确的空间矢量，其方向保持原样，不随坐标系轴的转动而改变。
　　【应用实例】
　　参见图8，一个底长为L，质量为M，其斜面与底面的夹角为θ的光滑三角劈静止摆放在水平面上，一个质量为m的质点从光滑劈斜面的顶点处从静止起始沿光滑劈斜面自由滑下。不计任何摩擦，求光滑劈在水平方向上获得的水平加速度。
　　
　　在这个实际例子中，地面是惯性参照系。由于很难直接用它对三角劈斜面上滑下的质点做出运动分析。我们在光滑劈斜面上建立一个中介观察参照系，从而分别作得光滑劈与质点的受力图如图9　、图10所示。

　　根据光滑劈受力图，可列得光滑劈运动方程如下：

程稳平
1990年5月一稿
1999年4月二稿



第四章　清除相对论的误导宣传

　　自从爱因斯坦于1905年提出相对论之后，到20世纪末，相对论的坐标变换公式已经出现了不下十余种推导方式。由于人们试图在经典的物理思路下推导出相对论坐标变换公式，不但未能将相对论的基本概念表达清楚，反而制造出了许多明显的错误。为了澄清是非，我们从影响最大的大学物理教材入手清理这些错误，消除人们在理解相对论时受到的误导宣传。　
一、大学物理教材开出超级玩笑
　　在程守洙、江之永先生主编的高校教材《普通物理学》第1册（1978年9月第三版）第239～241页上，狭义相对论的变换公式是这样给出的推导过程：

　　　为了推导洛仑兹坐标变换，我们仍采用图5…1中的两个坐标系K和K′。　其中y　＝　y′和z　＝　z′是不言而喻的。现在主要证明x和t的变换式。
　　对于O这一点来说，由坐标系K来观察，不论在什么时候，总是x＝0，但是由坐标系K′来观察，在时刻t′的坐标是x′＝　－vt′；亦即x′＋　vt′＝　0。由此可见，在同一空间点上，数值x和x′＋　vt′是同时变为零的。这就自然而然地使人认为在任何时刻x和x′＋　vt′都有一个比例关系，设这个比例常数是k，那么
　　x　＝　k（x′＋　vt′）　（1）
　　用同样方法对O′这一点来讨论，可以得到
　　x′＝　k′（x　－　vt）　（1a）
　　根据狭义相对论的相对性原理，K和K′是等价的，上面两个等式的形式就应该相同（除正负号外），所以两式中的比例常数k和k′应该相等。即有
　　k　＝　k′
　　这样　
　　x′＝　k（x　－　vt）　（2）
　　为了求得确定的变换法则，必须求出常数k。　根据光速不变原理，假设光信号在O与O′重合的瞬时（t　＝　t′＝　0　）就由重合点沿OX轴前进，那么在任何一瞬时t（由坐标系K′量度则是t′），光信号到达点的坐标对两个坐标系来说，分别是
　　x　＝　ct　，　x′＝　ct′　（3）
　　把式（1）和式（2）相乘，再把式（3）代入，得
　　xx′＝　k2（x　－　vt）（x′＋　vt′）　（4）
　　c2　tt′＝　k