21世纪的牛顿力学 作者:程稳平程实平-第15节
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系统质心加速度定律 任意指定的物体系统，其质心相对于在空间可以给定的惯性参照系所具有的加速度与该指定物体系统中诸物体在同一惯性参照系中测定的受力之总矢量和成正比，而与该指定物体系统中诸物体质量的总和成反比。
推论1 当指定物体系统中诸物体在空间某个可以给定的惯性参照系中测定的受力之总矢量和等于零时，该系统中诸物体相对于该惯性参照系所具有的运动速度与其质量的乘积之总矢量和保持为一常矢量（等于该系统质心相对于给定参照系的质心动量）。更一般的情况是：当指定物体系统中诸物体在空间某个方向上可以在给定的某个惯性参照系中测定的受力之代数和等于零或是在该空间方向上不受到在给定的惯性参照系中测定的作用力作用时，该系统中诸物体在相应的空间方向上相对于该惯性参照系所具有的分速度与其质量的乘积之总代数和保持为一常数（等于该系统质心相对于该惯性参照系在同一空间方向上的分动量）。
推论2 当指定物体系统中诸物体在空间可以给定的某个惯性参照系中测定的受力之总矢量和等于零时，该系统的质心相对于该惯性参照系作匀速度运动。更一般的情况是：当指定物体系统的质心在空间可以给定的某个惯性参照系中以不为零值的加速度进行运动时，在与该加速度垂直的任一空间方向上，该系统的质心相对于该惯性参照系作匀速度运动。
正是因为物体系统具有上述的运动定律，我们才把每个物体系统所对应存在的运动基准点称作该物体系统的质心。而所谓的系统质心，即意味作在不考虑该物体系统内部物体之间进行的相对运动状况下，可以从整体上把每个物体系统中诸物体的质量全部集中到该物体系统的质心位置上等效于以一个理想的质点进行的运动。下面的推导式子证明：
系统动能定理 每个物体系统中诸物体相对于在空间可以给定的某个惯性参照系所具有的系统总动能，等于一个质量为该物体系统中诸物体质量总和的质点处于该物体系统的质心位置上相对于同一惯性参照系所具有的动能（称之为该系统质心动能）与该物体系统中诸物体相对于原点建立在本系统质心上的参照系所具有的动能总和之和。即：
E系统 ＝ E质心 ＋ E系统′。
在人们所研究的实际问题中，物体在地球表面上相对于地面的运动是人们遇到得最多的具体问题。按照系统运动力学中的惯性参照系传递定律，如果地球不存在转动，即在地球内部任意两点间的连线永远保持同一矢向，我们只要将建立在地球质心上的参照系平移到地球表面上，地球表面的物体相对于平移到地面上来的与地心保持相对静止的参照系将具有与相对于地心参照系完全相同的运动规律。但实际的地球却是在不停地绕着通过地心的一根空间轴转动着。人们在地面上建立的参照系不能保持与地心参照系一样的等效。考虑到地球表面物体的实际受力情况，人们在地球表面建立的参照系是这样来确定坐标轴方向的：以物体在地面受到的铅直作用力（由地球对其的吸引力与其绕地球自转轴转动所受到的向心力合成得到）方向作为参照系的一个坐标轴方向，再在垂直于该铅直方向水平面上根据需要确定出另外两个相对于地面保持不变的坐标轴方向。由于地面参照系的铅直坐标轴始终与地面物体在地心参照系中测定的地球对其的作用力方向同步保持在一条直线上，由原先静止在地面上或在水平面上与地面保持匀速运动的物体所组成的物体系统，其系统质心也与附近地面上的点在水平面上同步保持静止或匀速运动。这些原先静止在地面或与地面在水平方向上保持匀速运动的物体由于受到组成系统内物体之间的相互作用而相对于建立在附近地面上的参照系在水平方向上具有推论1所述的运动规律。推论1也被称作经典牛顿力学中的动量守恒定律。而在铅直方向上，由于建立在地面上参照系原点与地心在铅直方向上始终保持相对静止（地球自转对重力方向的影响很小，故可近似认为铅直线通过地球质心），地面上的物体相对于建立在附近的地面参照系在铅直方向上具有与相对于地心参照系在同一方向上完全一样的运动规律。再加之地球的直径比较大（平均为6370公里），当人们在地面上运用牛顿力学定律来求解运动力学问题时，可以在有限的区域内获得相当精确的正确数据。
五、真实力与示值力之间存在的关系
我们先看一下只由两个质点组成的不完整物体系统时的情况。参见图6，质点mA与mB及其系统的质心O′相对于可以在空间给定的惯性参照系O中的位置分别用矢径rA 、rB与rO表示，而两质点相对于以本系统质心建立的非惯性系统参照系O′的位置分别用矢径 rA′→ 与rB′→ 表示。按照前面导出的式子将得到：
这表明，两质点相对于由二者组成的系统质心建立的系统参照系具有牛顿第三定律所给出的数学表示形式。而且用牛顿第二定律计算得出的作用力与反作用力；还可以用测力计测量出来。
参见图7，分别在两个质点与其组成的系统质心 O′之间挂上一只弹簧秤。由于大小相等，方向相反，当两质点之间挂入弹簧秤而使之处于相对静止的平衡状态时，弹簧秤上测出的数值与用牛顿第二定律计算得出的数值相等。但是，同时也应看到；图7中用弹簧秤测出的作用力 并不是两个质点在未加入弹簧秤时的实际受力。譬如，它们一个为铁质物体，一个为木质物体，当二者处在磁场中时，就只有铁质物体一个质点受到了该两质点系统外部的磁力作用。因此，人们有必要把相对于本系统质心参照系，按照人为规定的操作方式测定的作用力称为示值力。只有当所考察的物体系统是完整的物体系统或平衡系统之时，按照人为规定的操作方式测定的作用力才反映为被考察物体之间实际进行着的作用力。
对于由两个以上物体够成的物体系统，我们可以推导出如下的一般式子：
这说明，以完整物体系统的质心参照系为基准建立的系统运动力学，也可以适用于以不完整物体系统的质心参照系为基准的物体系统中。最重要的是：相对于不完整物体系统的质心参照系给出的能量计算公式完全反映真实的能量值，动量守恒定律与机械能守恒定律在不完整物体系统的质心参照系中具有与在惯性参照系里一样准确的数学表示形式。这样，任意指定的物体系统中诸物体相对于可以在空间给定的惯性参照系所具有的运动规律，即可由诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律与该系统质心相对于同一给定惯性参照系所具有的运动规律叠加得出。需要注意的是：在求解不完整物体系统中诸物体相对于本系统质心参照系所具有的运动规律时，所给出的作用力均是在本系统质心参照系中测定出来的经过代换后的示值力；而在求解系统质心相对于给定惯性参照系所具有运动规律时，除了系统质心是一个具有本系统中诸物体质量之总和的理想质点外，所给出的作用力均是在所给定惯性参照系中测定出来的真实力。我们现在从近代量子物理学中知道，力是物体间进行的能量交换过程。这显然是一个与参照系无关的作用过程。为了区别起见，我们把物体间实际进行着的能量交换过程称为真实力，而把物体相对于某个系统质心参照系所测定的作用力称为示值力。示值力的测定按照如下理想实验来进行：沿着与每个物体相对于所组成的指定物体系统的质心参照系所具有的加速度方向相反的方向，分别用一只测量范围足够大、而其质量可忽略的理想测力计，将该物体系统中的全部物体同所组成系统的质心参照系连接起来，在保持与运动状态的瞬态位置相同的条件下处于相对静止之时，每个测力计所显示出的力量，便是对应连接物体在指定系统质心参照系中测定的示值受力。当所指定的物体系统是一个完整物体系统时，被观察物体相对于包括它在内的完整物体系统质心参照系所测定的作用力将反映为该物体系统中物体间实际存在着的相互作用。由于能量守衡定律与参照系无关，反映物体间进行的能量交换过程的牛顿第三定律是与给定参照系无关的力学定律。根据这个性质，我们可以按照独立作用原理通过实验的方式，先将两个物体间存在的真实力与两物体间的相对距离以及运动状态等相关的函数关系确定出来，然后再把它们作为已知条件来使用。
六、推广意义下的系统运动力学定律
动量守恒定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于以本系统质心建立的系统参照系所具有的运动速度与其质量之乘积的总矢量和等于零。
相对稳定定律 在任意指定的物体系统中，当某个物体不受到在本系统质心参照系中测定的示值力作用或受到的示值力互相抵消平衡时，该物体与本系统质心保持相对静止或匀速度运动状态。
加速度定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于本系统质心参照系所具有的加速度与其在本系统质心参照系中测定的示值力成正比，而与其具有的质量大小成反比。
示值力平衡定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于本系统质心参照系所测定的示值受力的总矢量和等于零。
参照系传递定律 在任意指定的物体系统中，诸物体相对于与本系统质心保持匀速度运动的参照系具有以本系统质心参照系为基准时一样的相对稳定定律、加速度定律与示值力平衡定律。
质心动量定律 任意指定的物体系统，其质心相对于空间某个可以给定的参照系所具有的速度与该系统中诸物体质量总和的乘积等于该系统中诸物体相对于同一给定参照系所具有的运动速度与其质量之乘积的总矢量和。
质心加速度定律 任意指定的物体系统，其质心相对于空间某个可以给定的参照系所具有的加速度与该系统中诸物体在同一给定参照系中测定的示值受力之总矢量和成正比，而与该系统中诸物体质量的总和成反比。
注意要点：当人们在空间给出的参照系是建立在不完整物体系统的质心上时，该参照系属于非惯性参照系。此时人们只要用在该参照系中按照规定的可操作程序定义的示值力概念代替被观察物体间实际存在着的相互作用力，就可以在形式上继续应用在惯性参照系中才真正成立的运动力学定律。但对于在空间任意给出的没有保证物体的非惯性参照系来说，它们实际上属于中介转换性质的参照系。此时如果假定在系统质心参照系上才可以按照规定的可操作程序进行理想力学实验检测得到的示值受力也可以在没有保证物体的非惯性参照系中进行检测，即把示值力概念扩展到任意给出的非惯性参照系中，在惯性参照系中才真正成立的运动力学定律从形式上也可以继续在这些任意给出的非惯性参照系中应用。但同时必须记住：我们对示值力概念进行扩展处理只是为了方便人们容易记忆〃系统运动力学〃中的定律！
人们在实际的运用中，永远都必须把原点建立在完整物体系统质心上的惯性参照系作为观察分析物体进行的相对运动的起始基准工具。
由于系统运动力学必须把参照系建立在系统质心上，而系统质心又要由系统中全体物体来共同决定，如果要准确地按照系统运动力学来求解系统中某个物体相对于本系统质心参照系的所在位置随时间的变化规律，就必须同时把系统中全体物体相对于系统质心参照系的运动规律一道进行考虑才能求解出正确的结果。因此系统运动力学对一般的物体系统只有整体上的指导分析意义。但是，如果在所指定的物体系统中存在着一个质量相对极大的物体使得该系统的质心与该物体的质心基本保持重合，系统运动力学就具有非常良好的实用价值了。譬如，在地球及其表面附近的小物体所组成的物体系统中，由于地球的质量相对极大极大，当人们在地球质心建立起研究其它质量相对很小的物体相对于该参照系所具有的运动规律时，按照系统运动力学进行的计算就很接近真实的作用结果。
七、一般形式下的牛顿第二定理
在空间指定的任一物体，相对于在空间给定的任一参照系所具有的运动加速度，正比于该物体在同一给定参照系中测定的示值受力，反比于该物体本身所具有的惯性质量大小。
采用数学归纳法证明如下：
首先，
