世界近代中期科技史-第15节

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算机，并因此在同年被选为英国皇家学会会员。在英国期间，莱布尼茨除了　

继续研究笛卡尔、费尔玛等人的数学著作之外，他还研究了英国著名数学家　

华里斯及巴罗等人的数学著作，特别是巴罗的《几何讲义》，对莱布尼茨的　

影响最大。通过上述研究，他开始认识到求曲线的切线问题的重要性。这样，　

莱布尼茨也就在英国产生了微积分思想的最初萌芽。　

　　　　　②微积分的发明。不久以后，莱布尼茨返回巴黎，直至1676年被任命为　

汉诺威选帝侯图书顾问而被召回德国。　

　　　　　在巴黎期间，莱布尼茨继续研究笛卡尔的解析几何，从中吸取了笛卡尔　

在《几何》中所用的求曲线的切线方法。同时，莱布尼茨还继续研究巴罗的　

　《几何讲义》，从中吸取了巴罗的微分三角形法，并从巴罗的著作中意识到　

微分与积分的互逆性质。与此同时，他还通过欧登堡继续了解英国数学方面　

的最新进展，根据莱布尼茨的自述，经过一年多的努力，他在1674年发明了　

微积分的基本原理和主要方法。　

　　　　　莱布尼茨发明微积分的起点，是求曲线的切线作法及其计算问题。在研　

究过程中，莱布尼茨从巴罗在解决这一问题时所用的微分三角形法中得到启　

发，创立了他自己的一种新方法——纵坐标差分法。莱布尼茨所创立的这种　

新方法的基本特点，按照他自己的说法，乃是把曲线及其切线置于笛卡尔坐　

标系中，求切线的问题即可相应地转变成求横坐标与纵坐标变化率之差。　

　　　　　在创立纵坐标差分法之后，莱布尼茨又相继在原理和方法上作了一些新　

的研究。在1675年10月29日的一篇手稿中，莱布尼茨已决定用∫作为求和　

的符号；11月11日，他又在一篇题为《切线的反方法的例子》的手稿中，　

进一步对微分和积分的符号进行了探讨。此后，他又在一些数学手稿中证明　

了微分和积分的互逆性，导出了微分法和积分法的一些基本原则。尽管在无　

穷小量这一概念上他与牛顿一样含糊不清，但最迟在1676年，莱布尼茨已基　

本上完成了微积分的发明。　

　　　　　当时，英国科学家牛顿也在研究微积分。因此莱布尼茨作为外交使节出　

使英国期间，曾通过欧登堡与牛顿有过通信往来。后来，当莱布尼茨返回巴　

黎留任驻法大使时，以及返回德国任汉诺威图书顾问以后，莱布尼茨仍然通　

过欧登堡与牛顿保持着一定的联系。1676年，莱布尼茨在与欧登堡的通信　

中，得知牛顿的微积分研究已有显著的进展时，因此，他要求欧登堡告诉他　

有关这方面的消息，欧登堡把莱布尼茨的愿望转给牛顿，牛顿即于1676年6　

月13日，写了一份关于他的流数法的简要说明，请欧登堡转寄给莱布尼茨。　

同年8月27日，莱布尼茨收到了欧登堡的信及附寄来的牛顿的关于流数法的　


…　Page　52…

　　简要说明。此后，莱布尼茨直接致信牛顿，向牛顿简述了他自己在微积分方　

　　面取得的成果，并要求牛顿能就他的无穷级数的处理方法作进一步说明。同　

　　年10月24日，牛顿给莱布尼茨回信，就他的流数法作了较为详尽的说明，　

　　此时牛顿估计莱布尼茨也有可能发明了微积分，因此他在回信中写入了一个　

　　著名的字谜（以字谜的方式表示自己已作出某一发现或发明的方法起于17　

　　世纪初，在1610年，伽利略发现金星的位相之后，他意识到这是证实哥白尼　

　　日心说的重要发现，但他也认识到，完全弄清金星的位相变化还需要时间，　

　　因此他先发表了一个由35个字母组成的字谜，表示他已经发现了金星的位　

　　相。此后，这种以字谜暗示已作出某一发现和发明的方法即流传于17世纪）。　

　　牛顿给莱布尼茨回信中的字谜是：　

　　　　　　　6accd　aeff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx　

　　字谜就是由这些字母和数字组成的一个不规则的句子。这个字谜的谜底是：　

　　根据所给的方程式，在任意多变数方程求出流数及其逆运算。牛顿所以给莱　

　　布尼茨寄去这个字谜，实际上是向莱布尼茨暗示，他已经发明了微积分。　

　　　　　　　莱布尼茨收到牛顿的回信之后，研究了牛顿对于流数法的说明，也研究　

　　了牛顿的字谜。当然，莱布尼茨未能解开牛顿的字谜，但莱布尼茨也估计到，　

　　这是牛顿表明他已经发明了微积分的隐语。因此，他在1677年6月21日给　

　　牛顿回信时，也向牛顿坦率地介绍了他发明微积分的纵坐标差分法：“我长　

　　期在用一种更普遍得多的方法来处理切线问题，这就是纵坐标差分法。”并　

　　认为：“求切线无非就是求相应于已知的（相等的）横坐标之差的纵坐标差。”　

　　　　　　　此后，他们两人各自致力于数学和其他学科的研究，谁也没有公开发表　

　　有关微积分的研究成果。直到1684年，即他们彼此都知道对方已经发现了微　

　　积分的7年之后，莱布尼茨在德国的《博物者学报》发表了一篇关于他的微　

　　积分方法的简要介绍。因为这篇简介实际上只是一篇介绍报道性的文章，因　

　　此在当时并未引起人们的注意。　

　　　　　　　1686年，莱布尼茨在《博物者学报》上发表了一篇有关微积分的内容比　

　　较具体的论文：《求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的　

　　情形以及这个方法的一个巧妙的计算》。在这篇论文中，莱布尼茨公开发表　

　　了微积分的基本原理和主要方法。　

　　　　　　　在发表上述论文之前，莱布尼茨已于1675年10月29日的数学手稿中创　

　　用积分符号∫。∫是　sam（总和）一词的第一个字母的拉长写法。此后，莱　

　　布尼茨在1684年发表的那篇简介中创用了微分符号d。在1686年发表的这　

　　篇论文中莱布尼茨首次同时使用了dx，dy，∫x，∫y这样的微分符号和积分　

　　符号。其中dx表示两个相邻的x之间的差，dy表示两个相邻的y之间的差，　

　　而∫x与∫y则相反。　

　　　　　　　莱布尼茨在1686年发表的这篇论文的标题虽然很长，但篇幅却很短，只　

　　有6页。但由于其内容新颖，方法新奇，符号新巧，因此，立即引起欧洲数　

　　学界的极大关注，而莱布尼茨亦因此先于牛顿成为人们知晓的微积分这一新　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　数学方法的发明者　。　

　　　　　　　③微积分发明的居先权之争。由于莱布尼茨先于牛顿发表了微积分，而　

　　牛顿又先于莱布尼茨发明了微积分，加上他们之间又有过直接和间接的交　

　　往，因此，正当胡克为万有引力的发现居先权与牛顿发生争执时，由于莱布　



①　参阅＇英＇J·K。斯科特《数学史》，商务印书馆1981年版。　


…　Page　53…

　　尼茨论文的发表，一场关于微积分的发明居先权之争，几乎同时爆发了。　

　　　　　　　在争议中，牛顿和莱布尼茨各自说明了自己发明微积分的时间、过程和　

　　方法。牛顿说，他早在1665年11月就发明了微分，1666年5月又发明了积　

　　分。莱布尼茨说，他是在1674年发明微积分的，他的微积分是他独立发明的。　

　　　　　　　对于微积分发明的居先权之争，两个当事人似乎表现得相当克制。牛顿　

　　在1687年谈到这场争议时说：“大约在十年前，在和非常博学的数学家莱布　

　　尼茨的通信中，我告诉他，我发明了一种可以求出极大值和极小值，划出切　

　　线并解答类似的数学问题的方法。这种方法运用到无理数上和应用到有理数　

　　上同样行之有效。当我谈到这一点时　（假定已知一个任意多的变数方程求流　

　　数，并反过来，已知流数求变数），我没有把方法告诉他。这位著名人物回　

　　信给我，他也想到了同类型的一种方法，并把它告诉了我。他的方法除了定　

　　义、符号、公式和产生数的想法在形式上和我不一样以外，几乎并没有多大　

　　　　　　　　　　　　　①　

　　的差异。”可见，牛顿是充分肯定莱布尼茨的微积分的发明的独立性的。至　

　　于莱布尼茨，似乎从未对牛顿独立发明微积分的问题提出异议。　

　　　　　　　尽管牛顿和莱布尼茨两人对微积分发明居先权的争议似乎都不了了之，　

　　但海峡两岸的一些非当事人却起劲地卷入了这场争议，并最终使海峡两岸的　

　　数学家陷入对立之中。　

　　　　　　　英国人激烈地为牛顿辩护，为此还成立过一个调查委员会，对莱布尼茨　

　　在伦敦期间的科学活动作了不公正的评价，对莱布尼茨与牛顿的通信往来也　

　　作了不公正的评价，从而得出了莱布尼茨是牛顿成果的剽窃者的结论，并公　

　　开指责莱布尼茨是剽窃者。　

　　　　　　　莱布尼茨不得不为自己的声誉辩护。1714年，莱布尼茨写了题为《微分　

　　学的历史和起源》这一总结性的论著，陈述了他自己发明微积分的背景、历　

　　史和方法，试图以此批驳英国人强加给他的“剽窃者”的罪名。　

　　　　　　　除了莱布尼茨本人著文声辩外，大陆数学家也竭力为莱布尼茨争辩。特　

　　别是著名的瑞士数学家贝努利兄弟　（雅克·贝努利和约翰·贝努利）更是莱　

　　布尼茨的热烈辩护者、牛顿的坚决反对者，约翰不仅仅只为莱布尼茨辩护，　

　　而且尖锐地嘲笑和猛烈攻击英国人，甚至把牛顿贬斥为“老糊涂”。　

　　　　　　　由于大陆数学家的攻击，致使英国人更坚决地捍卫牛顿，甚至发展到坚　

　　决捍卫事实上比莱布尼茨的微积分符号差得多的牛顿的微积分符号。　

　　　　　　　由于微积分发明的居先权之争，使海峡两岸的数学家在此后一个世纪左　

　　右的时间里几乎完全停止了彼此之间的数学交流，这样，致使欧洲的数学发　

　　展受到了影响，特别是英国数学的发展受到了严重的影响。自牛顿之后，英　

　　国数学就逐渐落在后面。　

　　　　　　　牛顿的科学成就固然值得英国人骄傲，可是，自微积分发明的居先权之　

　　争爆发之后，英国人却从民族主义立场出发，以民族感情代替科学史实，处　

　　处捍卫牛顿，甚至连牛顿的明显缺点也要捍卫。这是英国科学在十八世纪初　

　　走向相对衰落的一个重要原因，这说明，一个民族如果过分地陶醉于光辉的　

　　过去，必然会失去伟大的未来。　

　　　　　　　事实说明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的独立发明者，除了在发明与发　

　　表微积分的时间上各有先后外，还有他们在完成微积分的发明过程中所显示　

　　出来的种种差异。一方面是他们完成微积分发明的科学背景不同，牛顿显示　



①　＇德＇H·武辛：　《伊萨克·牛顿》，第37页。　


…　Page　54…

　　出了他的力学背景，莱布尼茨则显示了他的几何学背景。另一方面，他们的　

　　基本数学方法不同，牛顿的基本方法是“流数法”，莱布尼茨的基本方法是　

　　　“差分法”。此外，他们两人在科学思想、科学风格、基本符号以及对无穷　

　　小量的基本表述，也都存在着明显的差异。这些都说明微积分是他们各自独　

　　立发明的。　

　　　　　　　尽管他们在完成微积分的发明中表现出了一些具体差异，但他们是在共　

　　同的历史条件和共同的数学基础上完成这一伟大发明的，因此他们获得了相　

　　同的结果。如果离开了当时的历史条件，离开了17世纪初期的数学基础，离　

　　开了从罗伯佛尔到巴罗等人的那些有关微积分的最初发明，无论谁，都是不　

　　可能最终完成微积分的发明的。恩格斯说，微积分“是由牛顿和莱布尼茨大　

　　体上完成的，但不是由他们发明的。”①　

　　　　　　　莱布尼茨与牛顿在微积分发明上的居先权之争；胡克与牛顿在万有引力　

　　发现上的居先权之争；以及在此以前及以后的一系列发明与发现的居先权之　

　　争，是近代科学技术发展史上的一个极为普遍的历史现象。这种现象说明，　

　　科学巨人并非天上掉下的圣人，而科学成果也绝非天才人物的偶然发现。无　

　　论是科学人才，还是科学成果，都是一定的历史的产物，一定的时代的产物，　

　　都是某个国家，某个时代的特定的经济、政治、文化与科学等各种因素所造　

　　成的一种合力孕育的结果。