经济数学模型化过程分析-第8节

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二、风险的新度量一一熵　
风险与不确定性的关系十分密切。目前国外对风险和不确定性这两个概念没有明确区分。但风险还有另外一层含意，即风险指人们在决策实施之前不能肯定地知道究竟结果如何，亦即在有风险的情况下，决策的结果具有不肯定性。即使在同一情况下，不同决策的结果的不肯定性也会有差异。因而应当找到一个模型从数值上度量决策的不肯定性。下面我们来讨论适宜度不肯定性的标准。　
假设一项决策只有有限个彼此不相容的结果A1，…，An，它们相应的可能性（先验概率或主观概率）是P（A1），…，P（An），设这个度量不肯性的量为H。首先，希望这个量相对于P（A1），…，P（An）是稳定的，即当P（A1），…，P（An）有微小摄动时，它不会有显著的变化。因此，这个量应该是关于P（A1），…，P（An）的连续函数；其次，在一般情况下，可能性的结果会愈多，则不肯定性愈大。因而，至少对决策的几个等概结果而言，这个函数是关于n单调上升的；最后，我们希望若干次结果较少的决策经验能够运用到结果较多的决策上。用数学语言讲，这个量H应满足以下三个条件：　
（i）H是P（A1），…，P（An）的连续函数；　
（ii）对n个等概结果的试验，H是n的单调上升函数；　
（iii）一个试验分成相继的两个试验时，未分之前的H即为分后的H的加权和。　
唯一能够满足上述三个条件的函数就是由申农（Shannon）找到的熵函数。从物理学角度看，熵是系统内部无序程度的度量，这从另一方面说明。用熵来度量决策后果的不肯定性是合理的。由于模型中采用主观概率预测，所以应该认为此时熵值不仅反映了决策后果的不肯定性，而且反映了决策者对决策事件的不肯定程度。本文定义风险熵的概念为：若h是和得与失有关的随机变量，则称h的熵值为其风险熵。若h遵从离散分布，则其熵值为：　　　
其中P（Ai）是事件Ai发生的概率，K是正常数。若h服从连续型分布，则其熵值为：　　　
其中P（t）是h的概率密度函数。当对数以2，e和10为底时，熵的单位分别为比特（bit），迪西特（decit）和奈特（nat），不论单位如何，熵值愈大，说明决策后果的不肯定性也愈大。对于与决策有关的随机模型来考虑每个经济模型的熵值可以有利于正确地进行决策。　
三、广义盈亏平衡分析及安全边际　
不得不失是风险中的一种极端的状态，在经济中称为盈亏平衡，即利润为零。对这种临界状态下各种经济量及其关系的分析称为盈亏平衡分析（或称损益分界分析，保本分析等）。一般定义为：盈亏平衡分析是研究固定成本、变动成本和利润三者关系的分析技术，其模型为：　
销量×（价格－单位变动成本）=固定成本　
销量=产量（隐含假设）　
盈亏平衡点=固定成本/单位创利额　
其中单位创利额=价格－单位变动成本。与盈亏平衡关系密切的经济概念有安全边际（margin　of　Safety）和安全边际率，其模型是：　
安全边际=计划业务量（或实际业务量）－盈亏平衡点业务量　　
安全边际率=安全边际/计划业务量（或实际业务量）　
在上述条件下盈亏平衡点所提供的创利额恰好弥补固定成本，所以安全边际所提供的创利额就是利润。从另一角度看，盈亏平衡点业务量所获得的销售额正好弥补了全部成本。因此安全边际和安全边际率越大越能经受市场的冲击，企业的经营风险也越小。　
从上述模型中，可以看出几个问题：　
（1）销量（业务量）等于产量（计划量）的隐含假设只适用于供不应求的情况。　
（2）当计划量不等于实际业务量时，安全边际和安全边际率不能度量未来的风险。因为这样会得出计划量愈大，则安全边际和安全边际率愈大、决策愈安全的结论。　　
（3）模型没有考虑决策对安全的影响，而且只适合于单品种，价格不变。无机会损失等比较确定的情况。　
为了解决上述问题，可以利用广义利润的期望来代替一般的利润，从而得出以下模型：　
广义盈亏平衡模型：　
E｛GNIk（X；xk）｝=0　
插图5。1　
广义盈亏平衡点：　
GBEPk=｛Xk｜E＇BNIk（X；xk）＇=0｝　
广义总盈亏平衡模型：　
E｛GNI（X；x）｝=0　
插图5。2　
广义总盈亏平衡超曲面：　
GBEP=｛X｜E｛GNI（X；x）｝=0；　X？　｝　
应当说明，当缺货损失为零时，产量等于销量，并且处理价格等于原价格，则单品种的广义盈亏模型与盈亏模型完全一致。　　
对于安全边际方面，给出一般的模型：　
安全边际：　
MSk=yk－GBEPk　
安全边际率：　
M/Sk=MSk/yk　
其中yk需根据实际情况来选取，yk的选取原则是：　
（1）若商品k供不应求，则考虑生产能力或行销能力的上限为yk。　
（2）若商品k供大于求，则考虑取能销售量的期望为yk。　
（3）若商品k供求差异不太大，则考虑取使利润的（或广义利润的）期望值达到最大的生产量或采购量为yk。　
将上述三条原则用数学语言表述为：　　　
其中　是生产量或行销量的上限。　是最佳生产量或采购量，　　　　　
对于多品种的情况，可以根据几何直观构造出安全边际的一个模型：　　　
它的几何解释是使广义利润的期望最大的决策点到盈亏平衡超曲面的距离。显然，最优解点　离盈亏平衡超曲面愈远，则经营的风险愈小，与之相应的安全边际率模型是：　　　
一般情况下，还可以用更简便的模型代替上述多品种的安全边际和安全边际率模型。设　》0，则　　　
其中，　　　
四、成败风险　
评价一项决策的成功与失败总是有一定准则的。我们采用能否实现目标的可能性作为成功或失败的风险的定义，进而可以给出度量成败风险的模型：　
P｛h