经济数学模型化过程分析-第5节
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二、数学模型的构造与推导
构造数学模型就是针对关于原型的特征规律和基本量的模型化假说，结合数学概念与方法，建立各经济因素之间的描述关系的数学结构。构造数学模型是一种创造性的活动，没有固定模式，构模的思维方法一般有四类：
（1）直接分析。当模型化假说十分清楚，各因素间的数量关系和逻辑关系比较简单，可以直接地进行推理分析，构造模型或使用标准模型。
（2）比拟思考。当问题的机理和假说不甚分明时，类比具有共性的事物；思考它们的构模方式，运用直觉、想象和灵感，在不同形式的事物间建立起同构或同态关系。
（3）启发性思考。启发性思考是从一般到特殊的思维方式。它运用已有的理论和原型方面的知识，探讨应用于构模的可能性。理论联系实际是其特征。
（4）理想实验法。当模型化假说较为复杂时，这是一种假想实验，此过程往往和模型化假说关系密切，是运用逻辑思维时设想的情况进行分析，和运用数学工具进行理论上的推导地过程。
构造模型是一个创造性的过程，因此没有固定的模式，下面就构模方法作一简单的综述：
（1）数据分析法
对结构尚不清楚或结构已定但参数未定的模型，可采用此法。其特征是利用数据作多元分析。如相关分析、聚类分析或回归分析等，最后推断出数量之间的结构关系。
（2）量纲分析法（dimensional analysis）
此法原于物理学。它的理论依据是P定理（P…theorem）和相似定理（Law of similitude）其大意为物理量都带有量纲，当度量基本单位改变时，物理定律仍然不变。我们把它平移到经济学中，有量纲的经济量之间的数量规律不随量纲的变化而变化。
（3）几何直观法
这是经济中最常用的方法之一。图形传递的信息以描述为主。根据几何直观构造相应的或推广的模型，以及其应有的性状是有效的。
（4）标准问题法
由于客观事物的同一性，许多不同的原型可以抽象为标准问题，这些标准问题与确定的模型相对应。找到原型的标准问题也就是找到了模型。
（5）数学分析法
利用特定的数学理论和方法（如数学分析、代数、拓朴概率、统计、微分方程等）构造相应的模型，这种方法要求构模对该数学分支的分析方法和理论有一定的了解。
（6）计算机模拟法
根据原型分析，设计出结构逻辑图，然后利用某种计算机模拟语言，进行模型设计。
至于模型的推导过程则主要是依据数学理论和方法进行的，以运用数学技巧为主。
§2。4。3 数学模型数学性质和经济背景研究
利用数学理论和方法研究已构造好的数学模型，是模型化中必不可少的。由于数学理论的抽象性可能会得出一些意想不到的结论，对这些结论应与适当的经济背景分析和研究，下面我们就经济中四类常见的模式指出它们各自主要研究的方面。
一、概念性模式
基本概念模式是最简单的研究模式，对于数学模型中的基本量以研究其单调性、凸凹性、连续性、可微性、周期性或运动稳定性等数学性质为主，同时研究这些数学性质的经济背景。例如导数可能和边际、变动率、弹性等概念有关；凸性可能与下降且递增或上升且递减等概念有关，而周期性则可能与季节性波动或经济循环等概念有关。另外，对基本概念模型引出的特殊的数学性质，应用到经济上去接受检验。
二、指标性模式
指标模式是经济中应有最广泛的模式。对数学模型设计有关指标并进行指标验证是研究数学模型的背景的手段。由于经济指标应具有的特点是不仅具有一定的经济解释，而且与一定的运算规则相联系，例如率、比、指数常和商的运算有关；累计、总和常与求和或积分运算有关。指标的经济解释一般是清楚的，只是对构成指标的诸因素的作用和影响应予以研究。分析各因素对指标的影响可以更科学地设计和控制指标，避免盲目依赖指标而导致谬误。
三、方程类模式
这类模型本质是可以利用其数学结构去寻找满足某些性质的数值解或函数解。方程本身则表示某种经济行为，一般说来，需要研究的数学性质有模型对参数稳定性，解的存在性、唯一性，可构造性或可计算性，以及解的稳定性等等。此外，对上述性质成立或不成立的条件，也应予以数学证明及经济解释。
四、最优化类模式
优化类模式与方程类相似，除上述内容外，值得注意的是最优化模型一般存在着对偶模型，其原型与原问题的原型相对偶，研究模型的对偶性质对深化原型的研究也是必要的。
§2。4。4 解模算法的研制及公式化
概念模型和指标模型的算法一般是不难的，方程类和优化类模型则以求解为算法的重点。解模算法就是根据已有的数据和数学模型，计算或解出未知或待定的数值解或函数解的方法，公式化则指把算法的具体步骤用严谨的、标准的、可直接计算的数学公式表示出来，研制解模算法大致分以下几步：
（1）研究考查数学模型及相关的算法
一般说来，一类数学模型总有与之相应的一类算法，考查数学模型的类型和结构，选择和利用已知算法，可以避免重复劳动，处理大规模问题时，可以结合计算机程序化分析和选择算法，先把整个计算或求解过程分解成若干子块，把具有共性的子块放在一起统一考虑相应的算法。
（2）具体研制算法
完全套用已有算法的情况是不多见的，具体研制算法过程中，大致包括有关数学模型的条件修正，数学模型结构的变换或近似，旧算法的改进、移植、新算法的研制；符号的谐调一致以及子算法的逻辑关系的统一。
（3）算法的估价
估价算法大致有以下几个方面，算法的复杂性、收敛性和程序化的水平；精确度或误差量的可控性水平；简易性和实用性水平；以及解决同类问题的能力和扩展的潜力等等。
一般说来，选择算法的标准是计算误差小、方法简单、计算时间短和经济耗费低。应当指出算法的估价标准也是选择算法的标准，只不过我们事先不知道罢了。至于公式化则主要是为程序化作准备的，相当于把模型和算法用基本的、初等的数学语言加以描述，它是算法实现的一部分。
§2。4。5 程序设计和支持系统的开发
计算机是人脑和手的延拓，它使数学模型的实际应用成为可能，如果数学模型的规模较大，复杂程度较高，使用率也高，或要求迅速得出结果，则可考虑使用计算机，大致需要经过以下过程：
（1）公式化数学模型和所选用的算法
由于计算机毕竟只能按人们事先约定的方式进行演算，许多数学符号不能直接输入，因此必须把所有需要计算机处理的内容进行公式化。
（2）构造一整套程序框架
计算机程序往往是牵一发而动全身，故构造框架时力求严谨、精细和完整、子框架之间的接口要逻辑分明，设计一个好的框架是成功的关键。
（3）根据具体情况，选择计算机的类型、编程序的语言，以及适应的操作系统。
（4）设计较细致的框图，编制程序和部分调试。
（5）设计信息处理支持系统
其中包括：多种信息输入形式，统计预测方法支持系统，文件支持系统，关系数据库支持系统，以及信息直接转化模型参数系统等等。
（6）程序的输入调试与检测
调试方法有：将大程序分为子块调试，最后再联接的分块调试法；有加入显示程序尾随运算过程的跟踪法，有虚拟数据的逆向调试法等等。经常有这样的情况，程序已可以使用，但仍有错误。
（7）程序的维护和功能的完善化
第三章 经济统计指标模型
模型化过程的第一步是收集原型的有关信息，而信息的收集涉及到抽样调查的指标设计和信息的分类处理问题。本章主要讨论模型化信息的收集与统计处理方法。
§3。1 模型化信息的收集方法
信息是表现事物运动状态以及和其他事物相互作用的一种形式。收集有关原型的信息则是模型化中必不可少的一环。收集信息是为了实现模型化目的，是一种有意识的活动。一般来说，模型化信息有五类：
（1）先决信息：即有关模型化所需的准备性信息。如模型化的简单设想，原始概念、框架、草图、有关的经济理论、事实、和一般规律，以及必要的数学知识等方面的信息。
（2）外界环境信息：即有关原型外延的信息。其中包括定义明确的原型界限，原型外部对原型的影响、作用，以及它们之间的相互作用。
（3）内部结构信息：即原型体系内部的结构信息。其包括原型的组成方式，原型元和子原型存在的形式、功能及相依关系等等。
（4）原型性状信息：即原型作为一个整体的性态状况方面的信息。其包括原型存在的目的、形式、行为、性状、特征以及发展趋势和变异、消亡的条件等。
（5）数量信息：即已数量化或可数量化的信息。其包括现在的、历史的、不同空间的原型及模型化的数据资料、图表、以及原型的量变规律，乃至数量化及收集方式等等。
以上信息不是互斥的，而且有些信息正是需要通过模型化得到的。Samuel L。S。Jacoby （1980）曾就模型化目的与原型信息给出一张关系表（见表3。1），我们称此表为雅可比表。并利用它做为收集信息的指南。
3。1 雅可比表：
原型 模型化目的
信息 观察解释 计划设计 最优化规划 运行机理分析 运筹控制 研究
初等的概念、设计或计划 A A A A A A
定义完备的系统、事物或过程 R A&R A&R A A R
元素、轮廓和固定参量 R A&R A&R A A R
可调节参量 R A&R R A R R
外围、环境、运行条件 A A A A A A
目的、使用、外貌、行为、表现 A&R A A R A A
说明* A：可获信息 R：结论性信息
不同类型的模型对信息的要求也不一样，请读者自己设计一张关系表做为练习。
收集信息的方式很多，我们重点介绍经济统计方法。众所周知，统计方法指搜集、整理、表现和分析数据资料，并根据分析结果导出经济结论，乃至作出合理决策的科学方法。但我们只关心前几步。社会经济现象多具有群体性，统计信息就是经调查而得到的有关原型的总体性数据。依统计学惯例，我们将数据分为原始数据与次级数据，或静态数据与动态数据。原始数据指为了模型化目的，经过实地调查或直接从其他机构收集来的尚未经过任何简化与整理的数据资料；次级资料则指通过整理、简化等处理后的，可供模型化直接利用的数据；静态数据指某时刻的静止状态的数据；动态数据则指特定时期内继续发生的演变过程的数据。统计资料的共性是数字性，总体性和客观性，构成统计量的三要素是时间、空间和属性，这些都需要在模型化中加以说明和注意。
（一）收集统计信息的方式大致有四类：
1。调查
以方式划分：亲自调查、委托调查和通讯调查；以范围划分有普查和抽样调查。
2。登记
3。实验
4。次级数据的搜集
在模型化工作中，这四类方式都会遇到，我们仅介绍普查与抽样调查。
所谓普查是指将需要研究的某种社会经济现象的全体进行逐一调查，以期获得完整、详细、可靠的总体数据。普查注重时间上的一致性，空间上的普遍性和方法上的统一性。普查的问项简易，组织庞大，精度较高，但耗资较大，一般是在政府支持下完成。抽样调查是在欲研究的总体中选取一部分加以调查。目的是在省时、省事、省钱的原则下，以最小的代价获得较精确的信息，利用概率论与数理统计推断总体特征。其在时空上限制较少，方法综合灵活。抽样调查的问项细致深入，组织规模较小，费用低廉，精度虽稍差，但可以调整控制。常用的抽样方法有以下几种：
（1）立意抽样：依据某种准则，将总体中某些具有代表性的个体抽出来组成样本，这种方法称为立意抽样。
（2）随机抽样：在不受任何人为因素影响的条件下，等概随机地从总体中抽出若干个体以组成样本，谓之随机抽样。
（3）分层抽样：依照某种准则将总体分成若干层次（Stratum），尽量使得层内的抽样单位同质，而不同层次的抽样单位异质，再由各层中抽出适当的单位组成样本。这种方法叫作分层抽样法。
（4）集团抽样：将总体分成若干集团（Cluster），并尽量使集团内的抽样�
