经济数学模型化过程分析-第3节
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货币度量的。因此，在数学模型的构造和推导过程中要注意量纲是否合理，否则可能失去原型背景，即不再是同原模型。
不论是构造什么样的模型，总是要选择一些基本量纲或原始量纲，经过模型构造和求解后，往往生出一些新的量纲，我们称之为导出量纲。例如，在描述一段时期内的平均收入时，我们把单位时间和单位货币称为基本量纲，而把（单位货币/单位时间）称为导出量纲。我们定义一个量纲是独立量纲，如果它不能由其它量所导出，如经济上常用的货币单位、实物单位、和计量单位等等。从数学的观点看，以什么作为量纲并不重要，关键是在构造过程中量纲必须始终是谐调的、规范的。只有这样才能保证所得的模型与结果不仅有数学意义，而且有经济解释。
无量纲的经济量（指标）在经济是经常遇到。诸如比例数、比率和指数等相对量，就可能是无量纲的。另一种较特殊的量是只起记录功能或排序功能的〃数量〃，例如，把盈利记为1，亏本记为…1，盈亏平衡记为0。这种量与有量纲的经济量有质的区别，应注意其数学处理的条件和应用范围。
模型化过程中常需直接利用已有的统计指标，这时更需注意量纲问题。按我国的惯例统计指标分为数量指标和质量指标。数量指标反映企业、部门或整个国民经济工作的直接结果，它是刻划经济规模的计划指标。质量指标反映生产资源和生产因素的利用效果，它是描述经济活动的统计性指标。质量指标分技术经济指标和经济质量指标，前者表示固定资产和流动资产的利用效果，产品质量及各产品生产间的比例关系，它是编制计划的依据，后者反映经济工作的质量与管理水平。与指标密切相关的因素是统计方式，这些都是收集信息时应当注意的。鉴于我国的经济指标体系与西方不尽一致，在考虑借鉴西方模型时尤应慎重。
§2。1。2 量纲分析
前一节中已经提到过量纲等概念，我们将进一步深化它们。模型化常会涉及到可度量的信息，如经济中的国民收入、产出、消费额等，既是经济概念，又是可度量的。度量单位是带有质的规定性的标准。在这种标准下，信息传递被简化了。例如两个量不经实际比较，就知道孰多孰寡。物理学之所以成为严谨的科学，得益于数学模型的利用。物理学的典型方法是把物理原型用数学模型表现出来，通过对输入和输出的量的量纲比较，说明了物理学规律。量纲分析（Dimensional Analysis）就是物理学中一项模型化技术。（我们将沿用物理学中的名称予以介绍）
众所周知，一切物理量可以由若干基本单位推导出来。基本单位的体系在物理上称为单位制。例如力学单位制可由长度、质量、时间为基本单位的绝对单位制（System of Absolute Units）推导出来。除基本单位之外，任何其他物理单位均称导出单位（Derived Unit）。如果q，j，y，…为基本单位，a为导出单位，根据定义或定律导出单位a可以表示成
a = c q jm yn…
的形式，其中c， ，m，n，…是常数。则称指数 ，m，n，…为a的量纲，量纲公式记作
＇a ＇=＇q jm yn …＇
其中〃＇ ＇〃读作〃…的量纲〃。对于一般的模型化问题，无法建立适用于一切原型的单位制，但是对具体的模型化问题，的确可以提供一个〃单位制〃。我们仍称被推导出的单位为导出单位，沿用一切物理学的名称。
量纲分析方法可以从单一的前提条件，对某一现象推断得出有价值的信息，而该现象可以由某些变量中的一个有量纲的、恰当的方程来描述。量纲分析可用于设计比例模型，处理如何按比例调节系统的参数，使之能根据模型预测未来。量纲分析还可以使变量按有意义的方式进行组合，从而减少变量的数目对有关数据的需求。量纲分析的主要依据是白金汉（Buckingham）的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我们首先介绍P定理。
P定理：假设有n个物理量a1，a2，…，an和m个基本量的量纲单位b1，b2，…，bm，如果关系式
f（a1，…，an） = 0
的成立与基本量的单位无关，则总可以转化成为
F（P1，…，Pn－m） = 0
其中P1，…，Pn－m是无量纲量群，形式为
这里F为某一函数。
我们回想一下代数学中的结论：线性空间中的一组基可以将任一向量线性表出；任一组向量亦可选出基向量。P定理的使用方法与基的扩充方法相似，首先从导出量a1，…，an中选择能包含全部基本量纲的m个导出量。不妨设a1，…，am的量纲中含有b1，…，bm，则可用剩下的n－m个导出量构造无量纲量群。我们设
，i=1；…n…m
其中hij是待定参数i=1；…n…m，j=1；…；m。由于a1，…，an的量纲单位是从b1，…，bm导出，故有
，j=1；…；n
其ajk是aj的量纲，k=1；…；m。利用前式可得
因Pi是无量纲的，故令
，k=1；…；m
如此得到的m（n…m）个方程恰好确定所有的待定系数hij，i=1；…n…m，j=1；…；m。这个方法不仅给出了扩充的步骤，而且给出了一个构造性证明。
【例2。2。1】万有引力模型
牛顿的万有引力定律告诉我们：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。模型为
式中F是万有引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两物体的质量，r是两物体间的距离。假设基本的物理量是质量M，长度L和时间T，我们来分析一下万有引力模型的量纲。显然，
＇F＇=MLT…2
＇m1＇=＇m2＇=M
＇r＇=L
＇G＇=M…1 L3 T…2
设a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G则系数矩阵为
选择a1，a2，a4为基，则
于是我们得到
h11＋h12＋1=0
h11 ＋h13 =0
－2 h11 =0
和
h21＋h22－1=0
h21＋h23＋3=0
－2 h21－2=0
从中解出
无量纲量群
由P定理可知，必可转化为
F（P1，P2）=0
事实上，稍加观察就有
P1 P2 －1=0
这是万有引力模型。请注意，如果我们考虑的体系中有这五个物理量，则可以纯形式地导出万有引力模型。当然，难点在于把G考虑在内的物理直觉。
【例2。2。2】流体实验
我们这次从经典的实例出发，讨论量纲分析的应用。原型问题是几何形状相似的物体在不可压缩粘性流体中的阻力问题。这种阻力是由于流体沿物体表面流动而产生的。我们记f为阻力，物体相对流体的速度为V，流体的密度为r，特征长度为ｌ，粘滞系数为m（注：m是粘滞摩擦阻力和该物体的速度梯度之比例系数）。仍以绝对单位制为基本单位制，则五个物理量，量纲单位分别是MLT…2，LT…1，ML…3，L和ML…1T…1。与例2。2。1相仿，可以得到
考察其物理意义可知：P1表示粘滞力与惯性力之比；P2表示阻力对流体在该物体正面投影面积上的作用力之比。 称为雷诺数（Reynolds Number），层流时其值较小，湍流时其值较大。如果我们的原型是湍流中的阻力，则应对R足够大的情况设计实验和分析。这样一来试验变得更为合理和有效了。
【例2。2。2】中 就是一个数学模型！我们希望了解阻力如何因速度变化而变化时，注意到另外三个物理量如何变化，则需要相应地做许多次实验。量纲分析法使我们科学地减少了实验次数和测量数。但是，量纲分析并不是一种机械的方法，变量的选择依赖于洞察力和判断力，因为一旦包含无关的量或多删了必需的量就会导致谬误。
综上所述，与其说量纲分析是一种工具，不如说是一个过程。首先要对原型中有关变量和常数进行识别，选择系统的主要候选变量及其量纲；其次是运用某些方法，如扩充法、P定理等解出无量纲量群；再次是对无量纲量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断；最后建立成数学模型以拟合原型，达到对原型体系的认识，简化实验设计，数据收集和数值计算的目的。
相似定律是许多物理实验的依据。该定律认为：两个同类的物理系统的Pi值如果相同，则它们的物理状态亦相似。因此Pi值相同的模型实验的结果可以用来推测原型。由于物理量成立的关系式是对基本（运动）方程进行数学运算得到的，所以关系式中出现的数值系数的数量级多为1。因此，相反地，在几个量间进行量纲分析时，如果根据实验结果所决定的系数值不是过大或过小，则可断定在这几个量之间可能存在相关性。
最后强调几点：
1。 量纲分析的基本方法没有固定的形式与结构；
2。 变量和常数的正确选择常常依赖于建模者良好的直觉；
3。 假说是十分必要的，不可太机械地利用量纲分析法；
4。 P定理有双重含义：其一是存在一组无量纲量群，其二是如果主要变量或量纲数为m，导出变量数为n，则其必要的独立无量纲量群的数目为n…m；
5。 量纲和单位之间有差别，我们要保持单位的相容性和量纲的一致性；
6。 无量纲量群是组建模型的砖石。
§2。2 数学模型的性质应用条件及评价准则
数学模型是抽象模型中应用最为广泛的一类，它除具有一般模型的性能外，还有其独特的性质与功能，这就是数学模型日益渗透各个领域的原因。数学模型是借助抽象的数学语言来表述、分析和研究原型的数量的关系及量变规律的。由于数学本身的高度抽象性使数学模型不可避免地具有一定的抽象性，数学模型可以简化复杂的问题，提取关键的性质，使人们看到原型的本质，另一方面，数学模型有其具体的、确定的客观原型，它是原型的反映，故数学模型又有一定的现实性，这两重性使数学模型得以广泛应用于自然科学和社会科学。众所周知，数学是一个自封闭的、严谨的逻辑系统，因此受制约的数学模型必然具有严格的逻辑关系。如果数学模型是正确的，那么，由其推导出的结果也必然是正确的，这是其它模型所不能比拟的。
数学模型与其它模型的不同之处还在于它有坚实的理论基础和有效的实现手段，理论基础是指数学理论的支持，从最基本的概念、定义或公理出发，经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统，有许多可利用的定理、方法和结论。实现手段是指计算机的普及为数学模型的应用奠定的物质基础。如果说，运用数学模型是一种科学成功的标志，那么，这种科学的完善的方式就是运用数学模型。
由于现实世界的任何事物都具有一定的数量关系和空间形式，因此，原则上说，数学模型可以研究任何原型。当然，数学模型的应用，也受一定条件的制约，有其应用的范围。Rosenblueth和Wiene （1945）曾对物理模型的实用性给出充分必要条件：
1。 在不熟悉或不太熟悉的领域（原型〃空间〃）里的一个现象必须被（更）熟悉的领域（模型〃空间〃）里的一个现象所代替。
2。 模型化实验必须在比原型实验更有利的条件（包括费用、时间等）下进行。
这两个条件对于数学模型在经济中的应用也是有启发的。
数学模型在经济中的应用是很广的，从应用的目的归纳大致包括四个方面：
1。 观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势；
2。 规划和设计经济的现实与未来；
3。 分析和控制经济的运动与规模；
4。 研究和解释经济现象及规律。
具体地说，数学模型是为了增加经济效益，降低经济消耗，合理地利用现有的资源等等。经济上需用模型的原因还在于人们往往不能或无法直接驾驭经济现实，所以借助数学模型是必然的。
数学模型可以用于研究许多经济问题，但这并不意味数学模型可无条件地应用，应用数学模型的必要条件是：
（1）经济原形（EP）可以映射到数学〃空间〃
此条件包括：EP的有关概念定义明确；EP的经济假说具有一定的科学性；在数学〃空间〃里存在着与假说的数量关系、逻辑关系或混合关系〃同构〃的数学关系式；可以通过必要的推导或证明得出有意义的数学结构；所需要的EP信息必须能够收悉，并可处理和转化成为模型的参数。
（2）数学模型在数学〃空间〃中可以研究
此条件包括：研究数学模型的数学理论与方法是完备的；数学模型必须满足一定的数学性质（如可解性、稳定性、可计算性等等）；结果必须能从数学上验证其正确与否。必要时，可以在计算机上实现。
（3）数学模型及其结果可以映射回经济〃空间〃
此条件包括：数学模型及其结果有一定的经济解释，可以验证经济假说或可以用经济实践检验。即数学模型及其结果可以用于指导经济工作。
如果上述三个条件不能�
