经济数学模型化过程分析-第11节

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2。采用通行的经济理论为指导，使结构更为合理，减少争议。　　
3。对于经济变量之间的非线性关系和时滞问题进行必要调整或技术处理，使模型最终化为完全线性化的动态差分方程。　
4。充分利用已有历史数据和先进的统计计量方法，使模型参数与历史值尽可能地拟合。　
平代克模型最终形式是一个季度经济计量模型，模型选用10个基本经济变量作为内生变量和系统的状态变量，并以凯恩斯经济理论为基础构造各经济变量之间的关系和模型结构，模型的参数设定采用了美国1955到1968年〃现代商业资料〃提供数据和自回归变换协同最小二乘法。　
设状态变量　
x1（k）=C（k）　个人消费　单位：10亿美元　　
x2（k）=INR（k）　非住宅投资　单位：10亿美元　
x3（k）=IR（k）　住宅投资　单位：10亿美元　
x4（k）=IIN（k）　商业库存变动　单位：10亿美元　
x5（k）=R（k）　短期利率　单位：百分数　
x6（k）=RL（k）　长期利率　单位：百分数　
x7（k）=P（k）　物价水平　单位：1958年水平=100　
x8（k）=　UR（k）　失业率　单位：百分数　
x9（k）=W（k）　小时工资　单位：美元　
x10（k）=YD（k）　纳税后的可支配收入　单位：10亿美元　
政策…控制（外生）变量　
u1（k）=TO（k）　附加税　单位：10亿美元　
u2（k）=G（k）　政府支出　单位：10亿美元　
u3（k）=DM（k）　在一个季度货币供应的变化　单位：10亿美元　　
其他外生变量　
z1（k）=1。0　对所有K均为常数　
z2（k）=YDP　潜在国民收入　
平代克经济计量模型可表为：　
x1（k）=…2。368x7　（k）＋0。415x10　（k）＋0。7596x1　（k…1）＋2。368x7（k…1）＋8。174x9（k…1）　
…0。282x10（k…1）＋5。299z1（k…1）　
x2（k）=0。157x10（k）＋1。336x2（k…1）…0。157x10（k…1）…0。344x2（k…2）…1。356x6（k…5）　
＋1。356x6（k…6）＋0。044x10（k…3）…0。044x10（k…4）　
x3（k）=0。0127x10（k）＋0。603x3（k…1）…0。55x5（k…2）…0。55x5（k…3）…0。465x10（k…5）＋6。65…　
2。462z1（k…1）　
x4（k）=…0。60x1（k）＋0。4763x10（k）＋0。422x4（k…1）＋0。60x1（k…1）…0。465x10（k…5）…　
2。462z1（k…1）　
x5（k）=0。479x7（k）＋0。0415x10（k）＋0。375x5（k…1）…0。479x7（k…1）…0。0344x10（k…1）…　
0。165u3（k…1）…0。1473z1（k）　
x6（k）=0。06x5（k）＋0。0055x10（k）＋0。871x6（k…1）…0。0055x10（k…4）＋0。313z1（k…1）　
x7（k）=…0。0156x10（k）＋0。804x7（k…1）＋6。28x9（k…1）＋0。0195x10（k…1）…0。033x4（k…2）　
＋14。55z1（k…1）…0。0195z2（k…1）　
x8（k）=…0。00043x10（k）＋0。805x8（k…1）＋0。0024x9（k…1）…0。00003x10（k…1）　
＋0。00032x10（k…5）＋0。0065z1（k…1）＋0。00014z2（k…1）　
x9（k）=0。0012x10（k）＋0。627x9（k…1）…0。0001x10（k…1）＋0。011x7（k…3）…0。828x8（k…4）　
x10（k）=0。85x1（k）＋0。85x2（k）＋0。85x3（k）＋0。85x4（k）…u1（k…1）＋0。85u2（k…1）　
将模型在计算机上对1955年第一季度到1969年第四季度期间美国经济进行模拟试验，这时政策变量中政府费用和货币供应均取历史值，附加税收取零。结果表明：消费、价格水平、工资率、变动曲线与历史曲线十分拟合，非住宅投资、短、长期利率轨线也与实际拟合较好，住宅投资、库存投资和失业率则拟合较差，问题主要是在设定库存投资方程时，为了稳定模型，采用了YD和C两个季度差分，需要加以改进。　
二、　模型的最优稳定政策试验　
1。　最优控制模型　
为了使最优稳定政策试验时能直接应用最优控制理论的有关结果，需要对模型作进一步的调整：　　
引入新的状态变量即附加变量来替代时滞超过一个周期的变量，将动态方程化为状态空间形式：　
X（k＋1）=AX（k）＋BU（k）＋CZ（k）　
其中X（k）为28维状态向量，前10个分量为已定义的基本经济变量，其余均为附加变量。U（k）为3维控制向量即政策向量，Z（k）为2维外生变量，分别为YDP（潜在可支配收入）和常数1。A、B、C分别为28′28，28′3，28′2的矩阵，均可以在方程整理过程中推出。　
进行优化设计，确定价值函数的形式：　　　
其中　（t=0，1，…，N）表示第t季度的状态向量实际值　
（t=0，1，…，N）表示第t季度的状态向量的标准值，即理想值　
q　为28′28的半正定对角矩阵，其对角线元素为对应各经济分量偏离标准轨　线的罚数，也称价值参数，其值大小也体现了政策试验的目标，附加向量对应位置取零　
R　为3′3的正定对角矩阵，其对角线元素为各控制变量偏离标准轨线的罚数，也称为价值参数，其值大小也表明试验采用了什么政策手段　
确定模型的初值x0和各标准值（标准轨线）。本例中，初值被定为美国1957年第一季度各经济量的历史值，状态变量和政策变量的标准轨线分别由表1和表2给出。外生变量中，将潜在可支配收入的趋向界限定为可能的国民生产总值GDP的85％，另一外生变量为常数1。　
表1　
状态变量　标准值取值　
从初值起每年增长4％从初值起每年增长6％从初值起每年增长6％从初值起每年增长4％取初值3。1％取初值3。3％从初值起每年增长2％取常数2％从初值起每年增长6％从初值起每年增长4％　
表2　
政策变量　标准值取值　
0从1956年第四季度实际值开始每年增长4％从初值开始每季增加＄14亿，而每年增长4％　
最优控制问题最终可表述为：　
在状态方程　
X（k＋1）=AX（k）＋BU（k）＋CZ（k）　
及初始值条件x（0）=x0的约束下，求解最优控制序列　　　
使目标函数　　　
取最小值。　
由于目标函数为二次的，该最优控制模型也称为线性二次型问题，简称LQ（Linenr…Quadratic）问题。最优控制序列可以用动态规划方法求解，并在计算机上实现，结果将是状态的线性反馈形式。　
2。　最优稳定政策试验　
下面将进行多种形式的最优稳定政策试验。每次试验方案都是通过对价值函数中矩阵q和R的对角线元素的设定中体现出来。　
试验1　价值函数定义如下：　
C　INR　IR　IIN　R　RL　P　UR　W　YD　
q　1　6　15　0　0　0　6　4′106　0　0　
TO　G　DM　
R　6　3　300　
定义表明：试验主要通过财政政策手段G讨论对YD，W，IIN等各种经济变量作用与影响。　
结果显示：消费、非住宅投资、住宅投资和可支配国民收入全部运行结果比标准轨线升高。　失业率下降大约3％，表明使失业率下降的唯一途径是增加GNP。而且高消费、高投资与低失业率一致。与此同时，约有5％的通货膨胀率，工资增长率达8…12％之间。迅速上升的GNP促使货币需求上升，从而导致利率上升，由模型得到最优政策也主要体现在财政手段上，政府费用平均高于标准值60亿美元上下，货币供应略有上升，变化幅度在15亿美元左右。　
试验2　价值函数定义如下：　
C　INR　IR　IIN　R　RL　P　UR　W　YD　
q　1　6　15　0　0　0　0　4′106　0　0　
TO　G　DM　
R　60　3　15　
定义表明：试验将货币政策作为达到上次试验相同目标的手段，与附加税对应的价值参数增加了10倍。　
结果显示：可支配国民收入再次上升超过标准线，失业率也下降大约3％，价格以每年5％的通货膨胀率迅速上升。这次运行与上次试验区别在于在政府费用大小与前期相当、附加税为负的情况下，最优政策可认为是货币供应有意义的扩充，幅度达到20亿美元/季，利率上升幅度不大。　
试验3　价值函数定义为　
C　INR　IR　IIN　R　RL　P　UR　W　YD　
q　0　0　0　0　0　0　0　0　0　1000　
TO　G　DM　
R　10000　3　30000　
定义表明：试验用一个控制变量来迫使一个内生变量保持在标准轨线的情况。　
结果显示：可支配国民收入几乎正好确定在标准轨线上，此时政府费用在计划期大多时间里只略高于标准轨线，说明要达到目的并不需要采用极度的财政政策。当政府费用和可支配收入标准轨线建立在每年4％的增加率的基础上时与实际经济活动相符，这时失业率大多数情况下保持在4。5％的水平。同时经济将经历4…4。5％通货膨胀率。　
试验4　价格函数定义为　
C　INR　IR　IIN　R　RL　P　UR　W　YD　
q　0　0　0　0　0　0　120　4′106　0　0　
TO　G　DM　
R　10000　3　300　
定义表明：试验企图同时用财政和货币政策了解适当的通货膨胀率和较低失业率之间转换关系。其中附加税收参数设置取很高的值，目的是将其分解出来，将政府费用作为单一的财政政策手段。　　
结果显示：可支配国民收入呈着上升达每年6％。失业率下降，在计划期最后一年达到2％。价格水平增长很快，通货膨胀率达5。5％，尽管此时货币供应增长比标准情况要高，但可支配国内收入增加主要是政府费用增加的结果。　
此次试验中价值函数中通货膨胀价值参数2倍于高失业率的价值参数，但结果仍是低失业率。高通货膨胀的价格水平的增长率是由于初始的GNP和工资率触发的，要使通货膨胀率回降，应采用更为激烈的财政政策，致使相当长时间里产生高失业率。模型试验表明要在相当长的时间周期里达到低失业率要比达到较低通货膨胀率更容易。　　
类似地利用最优控制模型还可做更多的政策试验，尽管该模型是一个容量很小而且大大简化的宏观经济模型，但仍然可以帮助我们了解到一个极为复杂的宏观经济系统运行过程中的动态行为特征，并提供了有关稳定政策的许多有益的启示。　
第七章　计量经济模型分析　　　　　　　
本章主要阐述计量经济模型的整个建模过程，计量经济模型的特点在于首先提出经济假说，然后确立变量之间的因果关系，最后收集统计资料的基础上，估计模型参数，并对其结果进行检验。本章包括计量模型分析的基础和建立计量模型的一些基本方法。首先讨论构成计量分析基础的最小二乘法（OLS　：Ordinary　Least　Squares），然后指出在实证分析中运用OLS估计时应注意的几个问题，最后探讨计量分析的一些新发展。　
§7。1　经济模型的最小二乘估计　
一﹑OLS估计及其性质　
经济变量之间的关系通过数学化的函数来表示，就形成了经济模型。根据观察到的数据对给出的函数关系进行统计分析的方法称为回归分析。假设根据经济理论，变量Yt依赖于k个变量Xit　（i　=1；2；…k）；且Yt和Xit　之间有如下的线性关系成立　
Yt　=b1X1t　＋b2X2t　＋…＋bkXkt　＋ut　t=1；2；…；n　（1）　
例如上述模型中Yt　可以看成货币需求而把Xit　看成GNP、利率、汇率、通货膨胀率。模型中Yt、Xit　分别称为被解释变量和解释变量。另外模型（1）中包含随机误差项ut，简而言之；ut被认为对于Yt的变化Xit不能解释的微小变动的全部，或者说没有在模型中明确表示的所有影响Yt因素的总和。如果ut=0，Yt成为Xit的线性函数，但是Yt一般同随机误差项ut有关，由于ut是未知回归平面同观测值Yt的差，实际上我们无法得到ut的真正数据，即使这样它在模型中起的作用是任何其它变量所不能替代的，可以说随机误差项的引进才使得经济模型的识别成为了可能。回归分析是指根据观察数据，求得模型中参数bi的估计值，同时检验Yt和Xit的关系是否的确如（1）所假设线性关系的整个过程。　
考虑未知参数的函数　　　
求出参数（b1；b2…bk）的估计量（b1；b2…bk）使上述函数｜（b1；b2…bk）达到最小值的方法称为最小二乘方法。本章中设X1t　=1；主要是为了考虑包括常数项的模型。如果引进向量和矩阵符号可以把（1）写成矩阵表达形式。　
Y=Xb＋U　（3）　
其中Y=（Y1；Y2；…Yn）T　　　
b=（b1；b2；…bk）T　
U=（u1；u2；…un）T　
平方和的函数形式（2）变成向量的内积形式　
｜（b）=（Y－Xb）T（Y－Xb）　（4）　
根据矩阵函数的求导法则和微分学中求极值的方法可知，要使（4）达到极小值，参数的估计量应满足条件：　　　
即　
XTXb=XTY　
容易得到　
b=（XTX）…1XTY　
b称为b的最小二乘估计，　=Xb称为估计回归平面，注意到为求出OLS估计用到了（XTX）…1存在的条件。为了使OLS估计b具有统计上一些重要的性质，对于模型（3）有必要做出如下的假定：　
1）误差项ut的期望为0，即E（ut）=0　（t=1；2；…n）　
2）不同时点的误差项之间不相关，即E（utus）=0　（t1s；t；s=1；2；　…n）　
3）ut的方差和t无关，即Var（ut）=s2　（t=1；2；…n）　
4）Xit为确定性变量，即E（Xitut）=0　
5）由X的列向量构成的向量组线性无关，即r（X）=k