黄万里文集-第2节

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Yalin；　Theory　of　Hydraulic　Modeds　183　页
《河流动力学》武汉水利学院讲义，及窦国仁讲义等。
式中　qs　为单宽输沙率，Hb　河床底面平均高程，？　？　床沙带有空隙的干容重，x　流程，
t　时间。
这一方程假设　Q　和水流中含沙浓度在各断面上并不随时变化，是错误的；它
在中外至今普遍地应用，产生了并正不断地产生着不良的结果。
这是水动力学中最基本最简单的第一个方程。下面作简明的解释。
这个方程是仿照了水流或水沙混合流的连续方程而成立的。公式






*　　讲义，1975　年初稿，1977　年重写。
1


？q ？h
　　　　＋　　　　　=　0
（2）
？x ？t

（2）对水流是正确的，但准确的沙流方程应是泊桑　Poisson　连续方程：
　？qs　　　　＋　？　？　　？H　b　　　　=　？　=？（sh）

（3）
？x ？t ？t
（式中　q　　—　单宽水流率，h　水深）其意义无非是，根据物质不生不灭的公理：当
　？qs　　
一定时刻　t，在　dx　流程内，输沙率的沿程增值 dx　和河床在同一地点堆高起来
？x
的沙量增率　？　？　　？H　b　　　dx　，一定等于这一时刻、这一地点来自水流中挟沙率的减值
？t
？（sh）
？　　 dx　。（式中　s　为含沙浓度）。在现行沙流连续方程（1）中，却把末项假设
？t

为　0：
？（sh）
　 =　0
？t




　？qs　　
也就　是假　设输　沙率　qs　　　的沿程增　值 dx　是全部　从河　床上　冲起　来的　沙量增　率　
？x
dx
？　？　？　　？H　b　　　dx　，而水中的挟沙率　=？（sh）　则为　0，或　sh　始终随时不变。这不符合任
？t ？t
何河中水沙流的实际情况，是没有根据的。
　？H　b　　
试想，当河床淤高时（
？t
》　0　），沙是从哪里来的？不是先得从河床上的水
流含沙　sh　　里供给的吗？那么怎么可能　sh　　本身却不也随时而变呢？怎可假设完全
　？H　b　　
来自上游多送了的沙所淤的呢？又当河床冲深时
？t
《　0　，当然冲起来的沙首先
去加大其顶头上的　sh，然后再靠水流把它部分输送下去，怎可假设全部冲起来的
沙恰恰都输往下游呢？作者曾绘过黄河、渭河、丹江上许多　Q（流率），V（流速），
s，Qs　，Hb　　等的时程线，把它们套在同一　t　　轴（见附图　1），没有一张图不显示　s
？s
是随着　Q，Qs　，V，Hb　等一起改变着的，而且其变率　　　　特殊地大，决不能把它假
？t

设为　0。

2














































由图可见：
？？ ？？ ？Q ？V
（1）　　 ？　0　，　　 ~　　 ，　　 ，……（后段　？　~　t　线可能因　？　未测准，有问题。）
？t ？t ？t ？t
（2）当　H，Q，V　增时，　？　=　s　，　d　50　跟着加大，而　H　b　减小，即河底冲深；
当　H，Q，V　增时，　？　=　s　，　d　50　跟着减小，而　H　b　加大，即河底淤高；
（3）洪水发时，粗沙冲起；洪水过后，细沙铺面。

图　1 渭河临潼站各水力因子的变化
（1966　年　8　月　31　日~9月　10　日）　
3


从实测资料的图线里，可以看到，只有在枯水期或汛期的尾水段，在近乎恒
定流的情形下，当　Q，Qs　，Hb　　变化极小时，s　　才可能也变化较小，但其时河床也
根本并没有显著的冲淤。
约一个世纪以来，数学家们致力于解出拉波拉斯的偏微分方程，作了一些简
化的假设就可能解出。但人们没有去考虑这种假设所引起的脱离实际情形的错误。　下面是作者以前分析沙流连续方程的结果：

s 　　　
按　q　　　=　qs　，　q　=　Vh　，　V　　=　dx　，代入式（3）得
dt
？s ？q ？H ？h ？s
q　　　　　　＋　s　　 ＋　？　？　　 b　　　=　？s　　 ？　h
？x ？x ？t
？t ？t
？s
移项，　Vh
？s ？H
？
＋　h　　　　　＋　？　？ b
=　？s？　？q
？h　？
＋ ？
？x ？t ？t
？　？x
？t　？
？q ？h ？x
按式（2），　　　　　＋　　　　　=　0　，双代入　V　=
？x ？t ？t
h
？　？s ？s　dx
乃得 　　　　　＋
=　？？　？　　？H　b　
？？　？t
？x　　dt　？？ ？t
h 　 b　
ds ？H
　　　　=　？？　？

（4）
dt ？t

这一简单方程的物理概念可以这样解释：令　b　=　　流宽
？　　　？　？ ？
b　×　h　ds　×　dx　=　？b？？
H　b　　？dx
dt ？
dt　　　？

或 （b　×　h　×　？x）？


x；t

t
b
s　=　？（b　×　？　　H

×　？x）？　？

（5）

此式的意义是，当一定时刻含沙浓度　s　　在水体　（bh？x）里沿程　？x　过了　？t　时间所增

加的输沙重量微量　（bh？x）　？


x　；t

s　一定就是从这一地点　x　　处河床里所冲起来的床沙

t
b
微量　？（b　？　？　H
？　？x）　乘以其具有空隙的床沙容重　？　？　　所得的沙重增微量　
t
b
？（b；　？　H
？　？x）？　？　。换句话说，就是，当一定时刻　t　从一定地段　？x　在相应时段　？t　冲

起来的沙重增微量，就是当时当地水流中本身所加浓的沙重，以及沙重沿程随时
增加的输沙微量；否则沙到哪里去了呢？或沙从哪里来的呢？下面再作一图例说
明，使读者心中完全明确，目前流行的沙流连续方程是极其错误的，它错误地引
4


导了连续方程在水动力学中的应用途径，连带模型比尺的理论一起导入了错误的
途径。
设在某段水沙流中水宽　1　米，水深　h　　=　　1　米，每粒沙的直径和容重都是一样
的，如图　2　　所示。设开始水沙流是恒定的、均匀的，在时段　？t　内有　4　　粒单位沙
（q　？t　=　4）　通过断面。接着河底平均冲深了　？　　H
=　？0。03　米。在河底上每米河宽、
s t b
沿程　？x　的平原上原来铺着　100　粒单位沙。（图中画了　10　粒，每米河宽有　10　行）
根据式（5）

（1×1×　？x）？


x；t

s　=　？（1×　（0。03）×　？x）×100


因此有　？　x　；t　　，s　=　3　粒单位沙冲了起来。图中画的是　2　粒冲到顶上水里加浓了水中

？（hs　）
？　？q ？
含沙浓度，= ？t？x　=　2　粒单位沙；另外　1　粒顺流而下，就是　？q　　？t；　？　　 s　　　dxdt　？　=　1
？t

粒单位沙。
s ？　　？x ？

























其次，我们来讨论连续方程在水动力学中的作用。这方程仅仅是水沙质量在
运　动中的　守恒　性质，　还没　有触及　力和　能的守　恒分　析，后　者将　依靠运　动方　程　。　
？　？　？　　？H　b　　　dtdx　=　？？　？（1　？　？　　H？x）　代表在床面　b　×　？x（b　=　1）　上在一定时间　？t　内冲起的
？t t

5


？　？ ？ ？

　　　　 　　　 　
沙重。　h　ds　dtdx　=　h？　　s　＋　　　s　dx　？dtdx　？　（？　　s　）＇1×　h？x＇　＋　（？
s　）＇1×　h？x＇，代表这床面
dt ？　？t
？x　　dt　？ t x
上　h　水深中同时间内加浓了沙重及当水沙流穿过这一体积时增多了的沙重。当此
式和运动方程联解时，若忽略掉最后这一项，结果就不合理了。　沙流连续方程在模型理论中的应用
拿式（4）、（5）和错误的式（1）比较，模比的关系就大大分歧了。按式（1）　得出错误的模比关系是
s
？ =　　？t　？q
？H　b
？？　？s　？　x
（见　Yalin　183　页） （6）


在长江模型中则是


？t　　　=

？　x　　？　？？　？
？1　2　　？　？


（7）
h s


若按正确的式（4）则是

　？h　　


　？h　　
b
？？H
=
？？　？
？？s
= ？s
？？　？
（8）


从前述简明的物质不生不灭的公理出发，同流程内、同时间内冲起来的沙量一定

就是水沙流中增加的总沙重。所以　？？H　　？　？？　？　　　=　？h　　？　？？s　，式（8）应是没有疑义的。

这里根本不涉及时间比尺　？t　和流程比尺　？x　。显然，连续方程是根本不能用来定时
间比尺　？t　的。　？t　是先已由长度比尺　？L　和流速比尺　？V　　按佛路德定理决定了的。决
不可用错误的式（7　）去另外定　？t　　。这样在长流程中就会违背水流模比定律——
佛路德定律——的规定，整个失掉了模型试验的灵魂，使试验的结果没有意义。
正确的连续方程对于模比理论应该指引出正确的模型设计。式（4　）所导出
的式（　8　）　简单明　了地　指出，　由于　水深比　尺　？h　和冲淤深　度比　尺　？？H　　可取　同值　，　

？？H
=　？h　，因此含沙浓度比尺　？s　应和床沙带有空隙的容重比尺　？？　？　一样：





6



？s　　　=

若取 ？？H
=？？H　　
？h
=　？h

？　？？　？
（9）

（10）

则 ？s　　　=　？？　？
（11）

？　？　对于均匀的粒径是不随其大小而变的，只有大小参杂的泥沙，因空隙减小而　？　？
增大。但当水落时，淤积必先粗而后细，同时的床面铺沙大致具有相近的粒径，

所以　？？　？　可以假设近似一常数，因此同时刻的　？　s　　也是一常数。

所以，连续方程对于含沙浓度比尺　？　　起着确定的作用，若取　？ =　？
，它规
s ？H h

s
定　？　　必须等于　？？　？

=
。在本校承试的长江模型中　？？　？
1。30
　 =　1。95　，那么，除非采
0。665
用　？？H
？　？h　，？　s　　也必须定为　1。95，而现在采用的模比是根据费里卡诺夫的悬浮功
？ VJ ？
公式　s　=　？　　 s　 ？　　　　　　，　？
=　　 s　 　=　0。0852　，比　1。95　　差　23　　倍，也就是比合
s
　？　s　　？　？ ？
？　m
？　　？　s　　？　？
？
理的浓度加大了　23　　倍。这样，时间比尺　？t　就从合理的　28。3　　扩大到　650，加大了
23　　倍。但若　？？H　　仍用　？？H

依据连续定律，只要　？？H
=　？h　　　=　175　，就违反了连续定律，是不合理的。所以，

=　？h　　　=　175　，式（10），只可能采用　？s　　　=　？？　？　　　=　1。95　，（式


11），再没有采用　s　的另一个比尺的自由度了。简言之，　？　s　　可由　？？　？　按连续方程定

出，毋须另从运动方程推算了。
笔者认为，也可以不必按式（10）　？H　和　h　采用同一比尺。由于河床的冲淤
只占水深的一小部分，改变　？H　的比尺使　？？H
？　？h　，不会显著地影响水流的性质。
我们可以按某一正确的沙流运动方程（但不是费立加诺夫的）来定出另一个　？　s　　，
然后采用



？？H



=　？h


　？s　　
？？　？



（8）
但不改变　？t　。这样，既遵守佛罗德定理，也遵守连续定律。例如在长江模型里，


7



若采用　了　？s　　　=　0。0852　？　？？　？　　　=　1。95
，同　时用了　？h　　　=　175
，则必　须采用　


=　175　×
？？H
0。0852
　 =　7。65　，而决不可仍用　？？H
1。95
=　？h
=　175　了。这就是说，我们在

模型里量出的淤积深度只应该乘上　7。65　倍来得出长江里实际的淤深，而不应乘上
？h　　　=　175　，那样就夸大了　23　倍，违背了连续定律，与实际是不会符合的。
尽　管我们采　用了过大　的时间比　尺　？t
=　650　，把时　间再缩小　　23　　　倍，　使　
？s　　　=　0。0852　，浓度　s　　也再加大了　23　　倍，但在模型里，如同在长江原体里那样，
仍只会遵守着连续定律的。它乃是自然规律，不可能由于错用了　？t　而遭到破坏的。
客观规律限定我们按照　？？H
=　7。65　而不用　175　去推算淤沙厚度。

b
若采用
？？　？　　　=　？s　　　=　1。95　， 则　？？H
=　？h　　　=　175　；

　？h　　
b
若采用
？？　　　=　？s　　　=　0。975　， 则　？？H
=
2
　？h　　
=　87。5　；
若采用
？？　？　　　=　？s
=　0。195　， 则　？？H
= =　17。5　；余类推。
b
10

b
b
所以，连续方程对沙流的作用是指出　？？H　　　与　？？　？
的关系。不按　？？H　　　　　=　？h　来定


高度比尺，就额外提供了一个自由度。我们可以利用连续方程，在没有一个合理

L ？　h
的浓度公式去制定　？s　时，去寻求　？s　：仍按　？t
=　？　　　？　？？1　　　=　28。3　以严格遵守佛罗德


b
定理，试用一系列不同的　？？　？　各按式（8）算出　？？H　　　，把结果和实测的验证，采用


其中一个最接近原体资料的　？？　？　。这样，我们利用了连续定律去替代那个未知的沙

流运动方程。但在长流程模型中，由于水沙流在不定流中的变形，同一个　？s　未必
能代表不同断面的情况，这是一种根本性的困难。









8




结 论
？？
1．在沙流连续方程中假设水中含沙浓度　s　不随时而变（　　　　　　=　0　）是错误的。
b
？t

必须用泊桑方程，不能用拉波拉斯方程来建立沙流连续方程。

2．沙流连续方程限制着含沙浓度　s　的模型比尺　？s　和床沙干容重比尺　？？　？　成一


b
定比例：若　？？H
=　？h　则必须　？s　=　？？　？　。但仍可改变　？s　　　？　？？　？　，这样做，　？？H　　　　　必须相


b
应地改变为　？？H
=　？h　？s　　/　？？　？　。所以，沙流连续方程提供的是运移泥沙和床沙间的


几何比尺。

ds ？H