科普-中华学生百科全书-第5节
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达目的地；而在另一种游戏中，电子计算机又可以模拟战斗，激烈程度不亚
于一场真正的战争。这些就是用电子计算机分别模仿驾驶汽车和双方交战的
模拟模型。
训练飞机驾驶员是一件非常重要而艰巨的工作。驾驶飞机训练，要占用
一架飞机，要消耗燃料，还需要教练员陪练及机场地面各种后勤人员的配合
支持。更危险的是，如遇不测，就会使飞机受到损坏甚至出现人员伤亡。后
来，人们想出一个办法，即用模拟模型输入电子计算机，模仿并显示飞机飞
行驾驶中可能出现的各种情形来进行训练。飞行员可以坐在由电子计算机以
及各种仪器表组成的与真飞机驾驶舱没什么两样的“驾驶舱”中，面对屏幕
上显示的机场跑道与飞行信号，驾驶“飞机”升空。如果学员操作不当，屏
幕上将会显示出危险的后果！当然，这对坐在模拟驾驶舱的学员来说，仅仅
是“有惊无险”而已，绝不会出现那种机毁人亡的重大事故。电子模拟装置
还可以模拟飞机的着陆、正常飞行、事故处理甚至空中激战等各种情形。可
以想象，这种模拟模型，要比电子游戏机中的模型复杂得多了。
当你到百货商店买衣服时，如果你仔细观察一下，就会发现有人仅看看
规格、选选颜色，检查一下衣服质量，便很快交完钱离柜而去，但更多的人
则挑选仔细，要看颜色，讲款式，还要试穿，要花比较多的时间才离开柜台。
由此产生一个问题，服装柜台需要几位售货员值班呢？如果售货员太少，顾
客排队太长，浪费了顾客的时间，有的顾客可能会因此而到别的商店去买衣
服，影响商店的生意。如果售货员太多，顾客虽不用排队了，但是售货员会
有很多的空闲时间，造成了人浮于事的局面。为了解决这个问题，确定售货
员的最佳人数，可以用计算机模拟顾客到达的人数、服务时间、排队时间，
以此来决定需要多少售货员最为合适。同样，邮局、银行、售票处、电话总
机房、医院、理发店等地方，都可以用计算机“模拟”服务情况，以决定工
作人员值班的最佳人数。
当然，并不是所有的模拟模型都要用电子计算机来解决问题的。比如说，
假如一个村庄要打一口井，向 5 个地点供水浇地，这口水井应打在什么地方，
才能使整个系统所用的供水管最短？有人提出一种方法，先假定在甲地打
井，计算从甲地到 5 个用水地点的供水管长度，然后相加，可得到总的供水
管长度。再用同样的方法计算在乙地打井所需的总供水管长度，与甲比较。
此外，还要选丙地、丁地等许多地方计算、比较，然后找出合适的打井地点。
村长觉得这种方法太繁琐了，而且是不是还有其他更合适的地点也不得而
知！
后来，另一个人找来一块均匀的薄板，将 5 个用水地点按比例画在板上，
连成一个 5 边形并锯下来。然后，用线穿过 5 边形吊起来，这时可以找到一
点，它能够使 5 边形吊起后不偏不斜与地面平行。该点叫做“重心”。与重
心对应的地点就是打井最合适的地点，在这里打井，将会使总供水管长度最
短。村长对这种方法十分满意。
数学题里的系统原理——线性规划模型
请看下面这个问题：
某工厂一天使用 12 吨煤、 20 度电，生产甲、乙两种产品。如果生产每
一吨甲产品消耗 2 吨煤、6 度电，卖出后可以净赚 4000 元，每一吨乙产品要
消耗 5 吨煤、 4 度电，卖出后可以净赚得 6000 元。问每天甲、乙两种产品
要各生产多少吨，才能使工厂净赚的钱最多？
仔细想一想这个问题，我们不难发现乙产品每 1 吨能赚 6000 元，比每 1
吨甲产品的赢利高。如果我们把所有的煤、电尽可能地用来生产乙产品，会
得到什么结果呢？从煤的角度考虑，可以计算出每天能生产乙产品
12÷5＝2．4（吨）
从用电角度，可以计算出每天生产乙产品
20÷4＝5（吨）
综合考虑煤、电的消耗，每天能生产 2．4 吨乙产品，相应的净收入为
2．4×6＝14．4（千元）
每天还会有剩余的电力
20…2．4×4＝10．4（度）
那么如果我们把每天的煤、电全部用来生产甲产品，结果又会是怎样呢？
从煤的角度，每天可以生产甲产品
12÷2＝6（吨）
从电的角度，每天可以生产甲产品
20÷6＝3．33（吨）
综合考虑，每天能生产 3．33 吨甲产品，净收入为：
3．33×4＝13．32（千元）
这时每天会有剩余的煤
12…3．33×2＝5．34（吨）
工厂对上述两种安排都不满意，因为这两种方案煤和电力资源都没有充
分利用。有人认为，如果每天只生产 2 吨乙产品，则消耗煤 10 吨、电 8 度，
收入 12000 元。省下了 2 吨煤，可生产 1 吨甲产品（同时耗电 6 度），可再
增加收入 4000 元。这两种产品一起可收入 16000 元，比前面只安排一种产品
生产的两个方案的赢利都多。除此之外，其实还可以试探其他方案，但试探
的方法过于繁琐。
实际上，用线性规划模型可以解决这一类各因素成比例关系的生产安排
问题。对于上述只生产两种产品，消耗两种资源的问题，因为因素少，可以
用简单的作图法来解决；对于涉及因素众多的线性规划问题，要用所谓的“单
纯形法”来求最优解；对于大型工厂、地区、部门，相关因素可能成百上千，
这时就要借助于电子计算机来求解了。通过图形法或单纯形法解决上述工厂
的问题时，可以得出：每天安排生产甲产品 2．36 吨，乙产品 1．45 吨，可得
到最大收入 18180 元。
还有一类问题也可以用线性规划模型来解决。例如有甲、乙、丙、丁 4
个糖果厂，生产同一种水果糖供给 A、B、C、D4 个商店零售。若已知 4 个工
厂的产量，4 个商店的需要量，而且还知道每个工厂运给每个商店 1 吨水果
糖的运费是多少，又叫运输问题，是实际工作中会经常遇到的问题。这些问
题，都可以用线性规划模型来解决。
如何才能赚最多的钱
——整数规划模型
一个汽车队，有甲、乙两种汽车。甲汽车每辆可装体积为 1 立方米的货
物，载重量为 5 吨，可收入 500 元。乙种汽车每辆每次可装体积为 1 立方米
的货物，载重量为 9 吨，可收入 800 元。由于值班司机人数、汽油燃料等条
件的限制，每次车队派车运货体积总计不能超过 6 立方米，载重量不能超过
45 吨。问题是每次安排甲、乙车各多少辆，才能既满足限制条件，又取得最
多的收入？
我们想一想这个问题，会发现两种汽车装载货物的体积、重量与汽车的
数量是成比例关系的，而车队的收入也是与车辆数目成比例关系的。因此，
用线性规划模型可以解决这一问题。应用图解法或单纯形法，可以计算出结
果，每次应派甲种车 2．25 辆，乙种车 3．75 辆，总收入为：
5×2．25＋8×3．75＝41．25（百元）
现在新的问题又来了，这种安排是不可能实行的。2．25 辆甲种车怎么
派？要么是 2 辆、要么是 3 辆，谁也不可能派出不是整数的车。乙种车也是
同样要派出整数。像这种要求得到整数结果的线性规划模型通常被称做整数
规划模型。
可不可以集零为整？如果把小数点后面的第一位数四舍五入，即甲种车
派 2 辆，乙种车派 4 辆，这是不是上面整数规划模型的最优结果呢？通过计
算会发现该结果超过了限制条件：2 辆甲车装载 10 吨，4 辆乙车可装载 36
吨，合计可装载 46 吨，但规定不能超过 45 吨。如果把小数点后的数字舍掉，
就不会超出限制条件了，但这样的结果是不是符合最优要求呢？再来计算一
下，每次甲种车派 2 辆，乙种车派 3 辆，总收入为：
500×2＋800×3＝3400（元）
这种情况下，每次派车运货的体积总量为：
1×2＋1×3＝5（立方米）
每次派车运货的载重量总计为：
5×2＋9×3＝37（吨）
可以看出还有 1 立方米体积和 8 吨载重量没有利用，还可再增加一辆甲
种车，即 3 辆甲种车，这时收益为：
500×3＋800×3＝3900（元）
从而我们知道，四舍五入和去掉小数点后面的尾数化零为整的方法都不
能求出整数规划模型的最优结果。
有人建议将条件允许的派车方案都列举出来，一一进行计算、比较，就
可以找到最优结果。
对于上面汽车队的派车的问题，要计算 25 种方案。如果因素增加，解决
整数规划模型的方案就可能成百上千，不仅计算复杂，光列举这些方案就会
令人头晕眼花。
那该怎么办呢？现在，科学家已找到了一种解决整数规划问题的方法，
叫做“分支定界法”。这种方法首先是找到相对应的线性规划问题的最优结
果，这个结果是整数规划的界限（例如上述汽车队派车问题，相对应的线性
规划的最大收入是 4125 元，整数规划的结果一定不会超过 4125 元）。然后
作出判断并进行计算，如果线性规划求出的结果恰恰是整数，这时可以认为
已找到答案。如果线性规划求出的因素中有非整数结果，如 2．25 辆车，就要
设法分别在限制条件内把各非整数因素化整，求出结果，进行比较，最后找
到整数规划的最优结果。对于上面派车问题，可以找到的结果是，不派甲种
车，派乙种车 5 辆，可以得到最高收入：
5×0＋8×5＝40（百元）
在实际系统中，存在许多因素，它们一定要用整数值来表示，如机器台
数、人数、火车车厢数目、集装箱数、工厂个数、商店家数以及在某地是不
是建工厂，建不建商店、学校、车站等等，这些数值都不能有分数（如建，
可用 1 表示；若不建，用 0 表示）。涉及这些因素的线性规划模型，都要用
整数规划来解决，用分支定界法等方法求出最优结果。
分派问题也是另一类广泛应用的整数规划问题。例如学校周末劳动，有
四项工作（给树木花草浇水、打扫教室、修理桌椅、出黑板报）要分配 4 位
同学去完成。这 4 位同学中，不同的人对不同的工作所用时间不一样。有人
力气大，浇水快；有人写字娴熟，出黑板报花的时间少。安排得好，4 位同
学总计花费的时间就会最少。还有分派不同的工人到不同的车间去工作，不
同的轮船按不同的航线航行，不同的飞机去不同的城市等，都是属于分派问
题。
系统工程的妙用
植树问题
某班长带领 60 位同学上山去值树，主要的工作有 3 项：挖坑、运树苗、
挑水浇树。根据情况得知：用 20 或 20 以上的人挖坑，需要 20 分钟；用 20
或 20 以上的人运树苗，需要 15 分钟；用 20 或 20 以上的人挑水浇树，需 30
分钟。这样，便会有 5 种安排：
第 1 种，可以在一项工作完成以后，再进行第二项工作，最后进行第三
项，这样总计要花 65 分钟时间；
第 2 种是在挖坑的同时派人去运树苗，在完成挖坑工作以后再组织人力
挑水，这样需要 50 分钟；
第 3 种是在挖坑的同时就派人去挑水，在挑完水后再去运树苗，这样需
要 45 分钟；
第 4 种是在挖坑的同时就派人去挑水，在挖完坑后又派人去运树苗，这
样只需花 35 分钟；
第 5 种安排是 3 项工作同时开始，那么，总共只需要 30 分钟就可以完成
任务了。
很显然，在人力、工具等条件都允许的情况下，第 5 种安排最省时间，
其他安排费时间多，会出现“窝工”现象。
同样，对于一个生产汽车的工厂，厂长一定会安排不同的车间（分厂），
分别生产汽车的发动机、轮胎、底盘、外壳、仪表、座椅、车灯、电器等零
部件，最后进行总体装配，一辆辆崭新、漂亮、别致的汽车就会从流水作业
线上徐徐开出来。任何一位厂长都不会安排先生产一种零部件，完成后再生
产第二种，一直到最后一种零部件制造出来后，再去一一组装。这样，无疑
要浪费许多时间，没有生产效率。
建筑队要盖一幢楼房，一定要打地基，运砖瓦石、水泥、钢材等建筑材
料，砌砖，安门窗，装水管和下水道，粉刷墙面等，如果�
